Problema
Risolvere la disequazione di secondo grado:
$\left(x-\dfrac{1}{5}\right)^2+\dfrac{3}{2}\left(x-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{9}{16}>0$
Svolgimento
La disequazione da risolvere non è nella forma $ax^2+bx+c>0$, dobbiamo quindi fare un po’ di conti prima di poter procedere. La prima cosa da fare è eliminare le parentesi svolgendo i calcoli:
$x^2-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{25}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{10}+\dfrac{9}{16}>0$
effettuando somme e sottrazioni otteniamo:
$x^2+\dfrac{11}{10}x+\dfrac{121}{400}>0$
che è nella forma normale. Ora possiamo quindi trovare le soluzioni dell’equazione associata:
$x^2+\dfrac{11}{10}x+\dfrac{121}{400}=0$
calcoliamo $\Delta$:
$\Delta=b^2-4ac=\left(\dfrac{11}{10}\right)^2-4\cdot 1\cdot \dfrac{121}{400}=\dfrac{121}{100}-\dfrac{121}{100}=0$
siccome $\Delta=0$ l’equazione due soluzioni coincidenti, che possiamo trovare calcolando:
$x_{1/2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\dfrac{11}{10}\pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}=\dfrac{-\dfrac{11}{10}\pm 0}{2}$
quindi la soluzione dell’equazione è $x=-\dfrac{11}{20}$.
Ora che conosciamo la soluzione dell’equazione associata possiamo trovare quella della disequazione utilizzando il metodo della parabola.
Disegniamo una parabola con la concavità verso l’alto perché $a=1>0$ e che interseca l’asse in un solo punto $x=-\dfrac{11}{20}$. Siccome la disequazione ha segno $>$ dobbiamo cercare i valori di $x$ per i quali la parabola sta sopra l’asse, che sono quelli in figura.
ATTENZIONE: in $x=-\dfrac{11}{20}$ la parabola sta SULL’asse e non sopra, quindi tale valore non va preso.

Concludiamo che la soluzione della disequazione è:
$\forall x\in \mathbb{R}-\left\{-\dfrac{11}{20}\right\}$