Problema
Risolvere la disequazione di secondo grado:
$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge \dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{3}{2}\right)$
Svolgimento
La disequazione non è nella forma $ax^2+bx+c\ge 0$, dobbiamo quindi svolgere dei calcoli prima di poterla risolvere. Andiamo quindi a svolgere i calcoli in modo da eliminare le parentesi tonde:
$x^2+x+\dfrac{1}{4}\ge \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{4}$
spostiamo ora tutti i termini a sinistra cambiando il loro segno e svolgiamo somme e sottrazioni, il risultato sarà:
$x^2+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\ge 0$
che è finalmente in forma normale. Ora possiamo procedere, come al solito, andando a risolvere l’equazione associata:
$x^2+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}=0$
calcoliamo $\Delta$:
$\Delta=b^2-4ac=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-4\cdot 1\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{9}{4}$
siccome $\Delta>0$ avremo due soluzioni, possiamo trovarle con la formula:
$x_{1/2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4}}}{2\cdot 1}=\dfrac{-\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{3}{2}}{2}$
da cui otteniamo che le soluzioni sono $x_1=\dfrac{1}{2}$ e $x_2=-1$.
Ora che conosciamo le soluzioni dell’equazione associata possiamo trovare quelle della disequazioni utilizzando il metodo della parabola.
Disegniamo una parabola con la concavità verso l’alto perché $a=1>0$ e che interseca l’asse in due punti, che sono $x_1=\dfrac{1}{2}$ e $x_2=-1$. La disequazione da risolvere ha segno $\ge$ quindi cerchiamo i valori di $x$ per i quali la parabola sta sull’asse o sopra l’asse, che sono quelli evidenziati in figura.
Concludiamo che la soluzione della disequazione è:
$x\le -1 \vee x\ge \dfrac{1}{2}$