Problema
Risolvere la disequazione di secondo grado:
$32x^2-12x+1<0$
Svolgimento
La disequazione è già nella forma $ax^2+bx+c<0$ quindi possiamo proseguire andando a risolvere l’equazione associata:
$32x^2-12x+1=0$
Partiamo calcolando $\Delta$:
$\Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot 32\cdot 1=144-128=16$
siccome $\Delta>0$ allora l’equazione avrà due soluzioni che possiamo trovare calcolando:
$x_{1/2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-12)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 32}=\dfrac{12\pm 4}{64}$
le soluzioni sono quindi $x_1=\dfrac{1}{4}$ e $x_2=\dfrac{1}{8}$.
Ora che sappiamo le soluzioni dell’equazione associata possiamo trovare la soluzione della disequazione di secondo grado, per trovarla utilizziamo il metodo della parabola.
Disegniamo una parabola con la concavità verso l’alto perché $a=32>0$ e che interseca l’asse delle $x$ in $x_1=\dfrac{1}{4}$ e $x_2=\dfrac{1}{8}$. La disequazione ha segno $<$ quindi cerchiamo i valori di $x$ in cui la parabola sta sotto l’asse, che sono quelli evidenziati in figura.
Concludiamo che la disequazione ha come soluzione:
$\dfrac{1}{8}<x<\dfrac{1}{4}$