Problema
Risolvere la disequazione di secondo grado:
$\dfrac{1}{3}x(2x-1)+\dfrac{1}{2}x\left(1+\dfrac{2}{3}x\right)-4\left(1+\dfrac{x}{24}\right)+\dfrac{6}{\sqrt{3}}\ge 0$
Svolgimento
La disequazione da risolvere non è nella forma normale $ax^2+bx+c\ge 0$, dobbiamo quindi fare dei calcoli per scriverla in quel modo. La prima cosa da fare è eliminare le parentesi tonde svolgendo le varie moltiplicazioni:
$\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}x^2-4-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{6}{\sqrt{3}}\ge 0$
che effettuando somme e sottrazioni diventa:
$x^2+\dfrac{6}{\sqrt{3}}-4\ge 0$
Possiamo razionalizzare il secondo termine ottenendo:
$x^2+2\sqrt{3}-4\ge 0$
che è in forma normale. A questo punto possiamo proseguire risolvendo l’equazione associata:
$x^2+2\sqrt{3}-4=0$
Evitiamo di calcolare $\Delta$, infatti mancando termine $bx$ possiamo risolverla più brevemente nel seguente modo:
$x^2=4-2\sqrt{3}$
da cui, accorgendosi che $4-2\sqrt{3}=(1-\sqrt{3})^2$:
$x=\pm \sqrt{(1-\sqrt{3})^2}=\pm (1-\sqrt{3})$
Quindi l’equazione associata ha due soluzioni, $x_1=1-\sqrt{3}$ e $x_2=\sqrt{3}-1$.
Ora che conosciamo le soluzioni dell’equazione associata non ci resta che trovare la soluzione della disequazione con il metodo della parabola.
Disegniamo una parabola con la concavità verso l’alto perché $a=1>0$ e con due intersezioni con l’asse in $x_1=1-\sqrt{3}$ e $x_2=\sqrt{3}-1$. Siccome la disequazione ha segno $\ge$ dobbiamo cercare i valori di $x$ per i quali la parabola sta sull’asse o sopra l’asse, che sono quelli evidenziati in figura.
Concludiamo che la soluzione della disequazione è:
$x\le 1-\sqrt{3} \vee x\ge \sqrt{3}-1$