Problema
Risolvere la disequazione di secondo grado:
$4x^2-5x+1>0$
Svolgimento
La disequazione è già nella forma $ax^2+bx+c>0$, possiamo quindi procedere andando a risolvere l’equazione associata:
$4x^2-5x+1=0$
calcoliamo il $\Delta$:
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 4\cdot 1=25-16=9$
essendo $\Delta>0$ ci aspettiamo due soluzioni, che sono:
$x_{1/2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{(-5)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 4}=\dfrac{5\pm 3}{8}$
cioè $x_1=1$ e $x_2=\dfrac{1}{4}$.
Ora che conosciamo le soluzioni dell’equazione associata di secondo grado dobbiamo trovare quali sono quelle delle disequazione, per farlo utilizziamo il metodo della parabola.
Disegniamo una parabola con la concavità verso l’alto perché $a=4>0$ e con due punti di intersezione con l’asse che sono $x_1=1$ e $x_2=\dfrac{1}{4}$. Siccome la nostra disequazione ha il segno $>$ vogliamo i valori di $x$ in cui la parabola sta sopra l’asse, che sono quelli evidenziati in figura.
Concludiamo che la soluzione della disequazione è:
$x<\dfrac{1}{4}\vee x>1$