In questa lezione vedremo cos’è un sottoinsieme e daremo la sua definizione, andremo poi a capire quali sono i sottoinsiemi propri e impropri di un insieme, infine vedremo cos’è l’insieme delle parti.
La lezione è suddivisa nei seguenti paragrafi:
DEFINIZIONE DI SOTTOINSIEME
Iniziamo dalla definizione di sottoinsieme e vediamo quali simboli si usano quando si parla di sottoinsiemi.
Dati due insiemi $A$ e $B$, si dice che $B$ è sottoinsieme di $A$ se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$, e si scrive: $B\subseteq A$.
In parole povere un sottoinsieme $B$ è formato da alcuni elementi di altro un insieme $A$ che possiamo immaginare più grande, ciò significa anche che l’insieme $B$ è contenuto nell’insieme $A$.
Il simbolo $\subseteq$ che serve ad indicare il sottoinsieme è detto simbolo di inclusione, la scrittura $B \subseteq A$ si può leggere come “l’insieme $B$ è sottoinsieme dell’insieme $A$ ” oppure come “l’insieme $B$ è contenuto nell’insieme $A$”.
Il simbolo $\not\subseteq$ è il simbolo di non inclusione, si utilizza per dire che un insieme NON è un sottoinsieme di un altro insieme.
Siccome stiamo parlando di un insieme contenuto in un altro insieme, possiamo ben immaginare che il miglior modo per visualizzare un sottoinsieme è utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn. Vediamo come utilizzando un esempio.
ESEMPI
- Consideriamo due insiemi $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ e $B=\{2,3,5\}$ e rappresentiamoli con i diagrammi di Eulero-Venn:
Possiamo facilmente notare che tutti gli elementi che sono contenuti nell’insieme $B$ sono contenuti anche nell’insieme $A$ (che è più grande). Quindi possiamo affermare che $B$ è un sottoinsieme di $A$, cioè $B \subseteq A$. Essendo $B$ un sottoinsieme di $A$ significa che $B$ è contenuto in $A$, è possibile quindi combinare i due diagrammi e rappresentare i due insiemi con un unico diagramma. In questo modo si nota subito che $B$ è un sottoinsieme di $A$:
Vediamo qualche altro esempio:
- L’insieme dei punti di una retta è un sottoinsieme dell’insieme dei punti di un piano.
- Consideriamo gli insiemi $C=\{ x \in \mathbb{N} | 2<x<8 \}$ e $D=\{3,4,5,6\}$. L’insieme $D$ è sottoinsieme di $C$ perché tuttu gli elementi di $D$ sono presenti anche in $C$, quindi $D \subseteq C$.
- Prendiamo l’insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ e l’insieme $E=\{-2,1,3\}$. Siccome l’insieme $E$ contiene l’elemento “$-2$” che non è presente tra i numeri naturali, l’insieme $E$ NON è un sottoinsieme di $\mathbb{N}$, perciò si scrive $E \not\subseteq \mathbb{N}$.
NOTA: se due insiemi $A$ e $B$ sono uguali, cioè $A=B$, allora significa che vale sia $A \subseteq B$ (cioè $A$ sottoinsieme di $B$) che $B \subseteq A$ (cioè $B$ sottoinsieme di $A$).
SOTTOINSIEMI PROPRI E IMPROPRI
Quando si parla di sottoinsiemi è possibile fare riferimento a due particolari categorie, infatti un sottoinsieme può essere classificato come sottoinsieme proprio o sottoinsieme improprio. Partiamo da quest’ultima tipologia.
Dato un qualsiasi insieme $A$ questo possiede SOLO due sottoinsiemi impropri, che sono l’insieme $A$ (cioè l’insieme stesso di partenza) e l’insieme vuoto $\emptyset$. Questi non sono altro che dei casi “limite” di sottoinsieme, infatti il sottoinsieme improprio $A$ è “costruito” prendendo tutti gli elementi dell’insieme di partenza mentre il sottoinsieme improprio vuoto $\emptyset$ è “costruito” prendendo nessuno degli elementi dell’insieme di partenza.
Per i due sottoinsiemi impropri si utilizza sempre il simbolo di inclusione, per cui si scrive $A \subseteq A$ e $\emptyset \subseteq A$.
ESEMPI
- Dato l’insieme $A=\{gatto, cane, topo\}$ i suoi sottoinsiemi impropri sono l’insieme stesso $A=\{gatto, cane, topo\}$ e l’insieme vuoto $\emptyset$. Li indichiamo scrivendo $A \subseteq A$ e $\emptyset \subseteq A$.
- I sottoinsiemi impropri dell’insieme $B=\{g,l,t,v\}$ sono l’insieme stesso $B=\{g,l,t,v\}$ e l’insieme vuoto $\emptyset$, anche in questo caso li indichiamo come $B \subseteq B$ e $\emptyset \subseteq B$.
- L’insieme $C=\{6,7,8,9\}$ è un sottoinsieme improprio dell’insieme $D=\{9,7,6,8\}$ perché $C=D$ avendo entrambi gli stessi elementi (l’altro sottoinsieme improprio di $D$ è come sempre $\emptyset$), perciò scriviamo $C \subseteq D$ e $\emptyset \subseteq D$.
- Consideriamo l’insieme $E=\{1,2,3\}$. L’insieme $F=\{1,2\}$ è un sottoinsieme di $E$, quindi $F\subseteq E$ ma non è un sottoinsieme improprio perché $F \neq E$ e anche $F\neq \emptyset$.
Abbiamo detto che i due sottoinsiemi impropri sono i casi “limite” nella costruzione di un sottoinsieme, nei quali si prendono o tutti gli elementi o nessuno.
Tutti gli altri sottoinsiemi di $A$ sono quindi dei casi intermedi perché sono formati solo da una parte degli elementi dell’insieme di partenza $A$, in tal caso si parla di sottoinsiemi propri.
Diamo una breve definizione:
Dati due insiemi $A$ e $B$, si dice che $B$ è un sottoinsieme proprio di $A$ se $B \subseteq A$ e $B \neq A$, e si scrive che: $B \subset A$.
In parole povere un sottoinsieme proprio $B$ deve essere un sottoinsieme ma non può avere tutti gli elementi dell’insieme “principale” $A$ perché $B \neq A$, cioè l’insieme $A$ deve avere almeno un elemento che non appartiene anche a $B$.
Per indicare i sottoinsiemi propri si utilizza il simbolo $\subset$ detto simbolo di inclusione stretta, mentre per la sua negazione si utilizza il simbolo di non inclusione stretta $\not\subset$.
Il simbolo $\subset$ non è altro che una combinazione del simbolo $\subseteq$ con il simbolo $\neq$.
ESEMPI
- Consideriamo l’insieme $A=\{giallo, verde, blu, rosso\}$, un suo sottoinsieme proprio è l’insieme $B=\{verde, blu, giallo\}$ in quanto è un sottoinsieme ma c’è un elemento mancante (l’elemento “rosso”) e quindi si scrive $A \subset B$
- Dato l’insieme $C=\{2,3,4,5,6\}$ un suo sottoinsieme proprio è l’insieme $D=\{4,2,5\}$ perché è un sottoinsieme ma ci sono degli elementi mancanti (gli elementi $3$ e $6$) e quindi $C \subset D$
- Dato l’insieme $E=\{14,15,16,17\}$, l’insieme $F=\{16,14,15,17\}$ non è un suo sottoinsieme proprio perché contiene tutti gli elementi di $E$, cioè $F=E$. Infatti $F$ è un sottoinsieme improprio. Quindi $F \not\subset E$ ma siccome è comunque un sottoinsieme vale $F \subseteq E$.
NOTA: Dati due insiemi $A$ e $B$, se vale $B \subseteq A$ non è detto che valga anche $B \subset A$, mentre se è vale $B \subset A$ allora vale anche $B \subseteq A$. Questo perché il simbolo $\subset$ è più “specifico” (nel senso che richiede la condizione aggiuntiva $B\neq A$) rispetto al simbolo $\subseteq$. Questo significa che possiamo usare il simbolo $\subset$ solo se siamo sicuri che è un sottoinsieme proprio, altrimenti dobbiamo usare $\subseteq$ che vale sia per i sottoinsiemi propri che impropri.
INSIEME DELLE PARTI
In questo ultima parte della lezione vedremo cosa si intende per insieme delle parti di un insieme, un concetto strettamente legato ai sottoinsiemi.
Immaginiamo di avere un insieme $A$ qualsiasi, cos’è il suo insieme delle parti? Diamone una definizione:
Dato un insieme $A$, il suo insieme delle parti $\mathcal{P}(A)$ è un insieme formato da tutti i sottoinsiemi di $A$.
Quindi l’insieme delle parti di $A$ si indica con il simbolo $\mathcal{P}(A)$ ed è un insieme che ha come elementi degli altri insiemi, che sono tutti i sottoinsiemi di $A$.
Quando si ha a che fare con l’insieme delle parti di un insieme, la principale difficoltà sta nel capire QUANTI sono i sottoinsiemi e capire QUALI sono, soprattutto se l’insieme di partenza ha molti elementi.
Per capire quanti sono i sottoinsiemi di un dato insieme (che supponiamo essere finito), è sufficiente calcolare la potenza:
$2^n$
dove $n$ è il numero di elementi dell’insieme di partenza.
NOTA: Prenderemo per buona questa formula, per chi è interessato si può dedurla sfruttando i raggruppamenti, ma questo sarà un argomento successivo.
Per quanto riguarda quali sono i sottoinsiemi, ossia come determinare i loro elementi, è possibile utilizzare un diagramma ad albero, nel quale ad ogni “livello” viene aggiunto un elemento dell’insieme che può essere scelto o non scelto.
ESEMPIO
Chiariamo quanto visto con un facile esempio, proviamo a determinare l’insieme delle parti $\mathcal{P}(A)$ dell’insieme $A=\{a,b,c\}$.
Come prima cosa notiamo che l’insieme $A$ ha cardinalità $n=3$, cioè è composto da $3$ elementi. Per determinare l’insieme delle parti dobbiamo prima capire QUANTI sono i sottoinsiemi di $A$, per farlo calcoliamo la potenza $2^n$ con $n=3$ otteniamo:
$2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$
Quindi l’insieme $A$ ha in totale $8$ sottoinsiemi e quindi il suo insieme delle parti $\mathcal{P}(A)$ avrà $8$ elementi.
Per capire QUALI sono questi sottoinsiemi dobbiamo realizzare un diagramma ad albero. Per realizzare il diagramma si parte dal primo elemento di $A$ che viene rappresentato dai rami principali. Ci saranno due rami principali, uno tratteggiato nel quale l’elemento non viene scelto per il sottoinsieme e uno non tratteggiato nel quale l’elemento viene scelto. Da ogni ramo principale partono due rami secondari per il secondo elemento, anche in questo caso uno tratteggiato e uno no. Si procede facendo lo stesso con il terzo elemento.
Seguendo tutti i possibili percorsi partendo dai rami principali si possono costruire tutti i sottoinsiemi di $A$, includendo o meno un elemento a seconda se il ramo è tratteggiato o no. Il risultato grafico è il seguente:
Alla fine di ogni percorso è riportato il sottoinsieme corrispondente. Ad esempio l’insieme vuoto $\emptyset$ è ottenuto seguendo il percorso fatto solamente da rami tratteggiati, mentre il percorso del sottoinsieme $\{a,b\}$ avrà come ramo tratteggiato solo quello dell’elemento $c$ che viene scartato e quindi non è presente nel sottoinsieme.
Osserviamo inoltre che come avevamo calcolato dalla potenza $2^n$ il numero totale di sottoinsiemi è $8$.
L’insieme delle parti $\mathcal{P}(A)$ dell’insieme $A$, che è l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi di $A$, si può quindi scrivere come:
$\mathcal{P}(A)=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$
Infine osserviamo che $\mathcal{P}(A)$ include sia i due sottoinsiemi impropri che tutti i sottoinsiemi propri.
Questa tecnica risulta facile per insiemi poco numerosi, ma se gli elementi sono molti diventa impraticabile.
Esercizi svolti su questa lezione? Ecco QUI