Le operazioni tra insiemi godono di diverse proprietà, alcune sono simili alle operazioni numeriche mentre altre sono una loro esclusiva. In questa lezione cercheremo di esporre le principali proprietà delle operazioni tra insiemi e alcune di esse le verificheremo utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn. Per correttezza è giusto precisare che una “verifica” non è una “dimostrazione”. C’è da dire inoltre che alcune proprietà che vedremo coinvolgono più operazioni nella stessa formula.
La lezione è divisa secondo il seguente indice:
- Proprietà dell’intersezione
- Proprietà dell’unione
- Proprietà del complementare
- Proprietà del prodotto cartesiano
- Verifica grafica delle proprietà
- Applicazione delle proprietà
PROPRIETÀ DELL’INTERSEZIONE
Per quanto riguarda le proprietà dell’operazione di intersezione tra insiemi le principali proprietà sono le seguenti:
- Proprietà commutativa dell’intersezione
$A\cap B= B\cap A$
- Proprietà associativa dell’intersezione
$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
- Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
- Leggi di assorbimento dell’intersezione
$A\cap (A\cup B)=A$
- Proprietà di idempotenza
$A\cap A=A$
PROPRIETÀ DELL’UNIONE
Anche l’operazione di unione gode di proprietà analoghe a quelle dell’intersezione, la differenza sta solo nei simboli:
- Proprietà commutativa dell’unione
$A\cup B= B\cup A$
- Proprietà associativa dell’unione
$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
- Proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
- Leggi di assorbimento dell’unione
$A\cup (A\cap B)=A$
- Proprietà di idempotenza
$A\cup A=A$
PROPRIETÀ DEL COMPLEMENTARE
Le proprietà del complementare sono decisamente più interessanti di quelle dalla differenza, vediamone alcune:
- Principio del terzo escluso (U è l’insieme universo)
$A\cup \overline{A}=U$
- Principio di non contraddizione
$A\cap \overline{A}=\emptyset$
- Leggi di De Morgan
$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$
$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$
- Complementare del complementare
$\overline{\overline{A}}=A$
PROPRIETÀ DEL PRODOTTO CARTESIANO
Come sappiamo il prodotto non gode della proprietà commutativa ($A\times B \neq B\times A$), tuttavia è valida la proprietà distributiva:
- Proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all’intersezione
$A\times (B\cap C)=(A\times B) \cap (A\times C)$
- Proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all’unione
$A\times (B\cup C)=(A\times B) \cup (A\times C)$
- Proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto alla differenza
$A\times (B-C)=(A\times B) – (A\times C)$
VERIFICA GRAFICA DELLE PROPRIETÀ
Vediamo ora come si possono verificare alcune proprietà delle operazioni tra insiemi che abbiamo presentato durante questa lezione. Per pignoleria ricordiamo ancora che “verificare” non significa “dimostrare”. Alcune proprietà sono “banali” (ad esempio quelle di idempotenza) e non ha molto senso verificarle, ci dedicheremo a quelle un po’ più articolate!
Per verificare le proprietà utilizzeremo un procedimento abbastanza generico che sfrutta i diagrammi di Eulero-Venn.
Il procedimento consiste nel mostrare tramite i diagrammi che la “parte” sinistra dell’uguaglianza è identica alla “parte” destra. Sicuramente è più facile a farsi che a dirsi, vediamo subito come:
- Verifica della proprietà associativa dell’intersezione
Per verificare la proprietà partiamo dalla sua formula: $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$.
Quello che dobbiamo fare è dimostrare che il diagramma della parte sinistra $A\cap (B\cap C)$ è identico a quello della parte destra $(A\cap B)\cap C$.
Siccome nella formula sono presenti tre insiemi $A,B,C$ il nostro disegno di partenza sarà il seguente:
Partiamo dalla parte di sinistra $A\cap (B\cap C)$, dobbiamo immaginarla come divisa in pezzi separati dal simbolo $\cap$. Il primo pezzo è semplicemente l’insieme $A$, il secondo pezzo è $(B \cap C)$. Questi due pezzi sono molto facili da rappresentare e siccome sono divisi dal simbolo $\cap$ poi dovremo semplicemente intersecarli tra loro per trovare il disegno finale. Vediamo come:
L’ultimo diagramma rappresenta la parte di sinistra $A\cap (B\cap C)$.
Ora dobbiamo fare un ragionamento simile con la parte di destra $(A\cap B)\cap C$ e verificare che la rappresentazione grafica sia la stessa.
Anche $(A\cap B)\cap C$ può essere suddivisa in due pezzi, il primo $(A\cap B)$ mentre il secondo pezzo è semplicemente $C$. I due pezzi sono sempre divisi dal simbolo $\cap$, quindi una volta disegnati dovremo poi intersecare i loro diagrammi. Ciò che si ottiene è il seguente disegno:
La verifica della proprietà termina qui, infatti abbiamo verificato con successo che il diagramma della parte destra $(A\cap B)\cap C$ è identico a quello della parte sinistra trovato prima!
- Verifica della prima legge di De Morgan
Proviamo ora a verificare la prima legge di De Morgan $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$.
L’idea è sempre quella di dimostrare che il diagramma della parte di sinistra $\overline{A\cap B}$ è identico a quello della parte destra $\overline{A}\cup \overline{B}$.
Questa volta il disegno di partenza sarà un po’ diverso, abbiamo infatti due insiemi $A$ e $B$, ma dovendo considerare dei complementari ci serve anche l’insieme universo $U$ che contiene entrambi. Il diagramma di base sarà il seguente:
Anche per la verifica della legge di De Morgan partiamo dalla parte di sinistra $\overline{A\cap B}$, per rappresentarla facilmente prima rappresentiamo l’intersezione $A\cap B$ e poi troviamo il suo complementare. Ciò che si ottiene è il seguente disegno:
Quindi l’area viola rappresenta la parte di sinistra $\overline{A\cap B}$.
Ora dobbiamo verificare che anche la parte di destra $\overline{A}\cup \overline{B}$ sia rappresentata dalla stessa area.
Per disegnare la parte di destra conviene dividerla in due pezzi, il primo $\overline{A}$ e il secondo $\overline{B}$. Questi due pezzi sono il complementare di $A$ e il complementare di $B$ che essendo separati dal simbolo $\cup$ dovremo poi unire. Vediamo come:
Possiamo osservare che la proprietà è verificata, infatti l’area viola della parte sinistra $\overline{A\cap B}$ e l’area verde della parte destra $\overline{A}\cup \overline{B}$ sono identiche!
APPLICAZIONE DELLE PROPRIETÀ
In quest’ultima sezione vedremo brevemente come applicare una proprietà a degli insiemi che conosciamo, in pratica sarà come verificare la proprietà con degli insiemi di cui sappiamo gli elementi. Per farlo la tecnica è simile a quella vista per la verifica grafica, ossia dobbiamo verificare che la parte sinistra della proprietà sia uguale a quella a destra. Ma vediamo con un esempio come fare.
ESEMPIO
- Verifica la proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione con gli insiemi $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{2,3,5\}$ e $C=\{1,3,5,6\}$
La proprietà distributiva che dobbiamo verificare è $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.
Per farlo dobbiamo determinare gli elementi possiede l’insieme di sinistra $A\cup (B\cap C)$ e controllare che siano gli stessi dell’insieme di destra $(A\cup B)\cap (A\cup C)$.
Partiamo dalla parte sinistra trovando gli elementi di $A\cup (B\cap C)$. Come prima cosa dobbiamo fare l’intersezione dentro le parentesi $B\cap C$, il risultato sarà:
$B\cap C=\{3,5\}$
L’insieme $B\cap C$ appena trovato va poi unito con l’insieme $A$, trovando così l’insieme $A\cup (B\cap C)$, che sarà:
$A\cup (B\cap C)=\{1,2,3,4,5\}$
Ora che abbiamo trovato l’insieme di sinistra, determiniamo quello di destra $(A\cup B)\cap (A\cup C)$. Iniziamo trovando le unioni $A\cup B$ e $A\cup C$, che sono:
$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$
$A\cup C=\{1,2,3,4,5,6\}$
Concludiamo facendo l’intersezione tra i due insiemi appena trovati per determinare $(A\cup B)\cap (A\cup C)$, che sarà:
$(A\cup B)\cap (A\cup C)=\{1,2,3,4,5\}$
Essendo che $A\cup (B\cap C)$ è uguale a $(A\cup B)\cap (A\cup C)$ perché possiedono gli stessi elementi, possiamo dire di aver verificato la proprietà per gli insiemi $A,B,C$.
Esercizi su questa lezione? Ecco QUI