Ci sono alcune tipologie di problemi risolvibili con gli insiemi, utilizzando le rappresentazioni e le operazioni che abbiamo studiato. Questa lezione non sarà teorica, infatti non c’è un modo unico e generale di risolvere i problemi con gli insiemi. Si tratta piuttosto di sviluppare un certo tipo di “intuito” che permette di affrontare diverse tipologie di problemi seguendo la strada migliore, l’unico modo per sviluppare questo intuito è fare esercizi!
Quindi non ci dilungheremo oltre, vediamo subito come risolvere un paio di problemi d’esempio.
ESEMPIO 1
- In una classe di $22$ studenti è stata effettuata un’indagine sugli sport praticati. Si è trovato che $12$ studenti praticano calcio, $8$ praticano basket e $5$ praticano sia basket che calcio. Quanti sono gli studenti che praticano solo calcio? Quanti solo basket? Quanti non praticano né calcio né basket?
Questo è il tipico problema risolvibile con gli insiemi. In questo genere di problemi il miglior modo per procedere è cercare di rappresentare i dati graficamente con l’aiuto di diagrammi di Eulero-Venn.
Prima di farlo dobbiamo però identificare e definire gli insiemi che andremo poi a rappresentare. Siccome l’indagine è stata svolta su una classe di $22$ studenti, definiremo $U$ come l’insieme universo che conterrà qualsiasi altro insieme che utilizzeremo (una sorta di contenitore principale):
$U=\{x | x$ è uno studente$\}$, con cardinalità $|U|=22$
Ora definiamo tutti gli altri insiemi in base ai dati forniti dal problema, ad esempio:
$A=\{x | x$ è uno studente che pratica calcio$\}$, con cardinalità $|A|=12$
$B=\{x | x$ è uno studente che pratica basket$\}$, con cardinalità $|B|=8$
Avendo definito questi due insiemi possiamo rappresentare i $5$ studenti che praticano sia calcio che basket come l’intersezione tra $A$ e $B$, cioé:
$A\cap B=\{ x | x$ è uno studente che pratica sia calcio che basket$\}$
con cardinalità $|A\cap B|=5$
Provando a rappresentare con i diagrammi tutto quello che abbiamo descritto finora il risultato sarà il seguente:
Nei diagrammi sono stati inseriti anche dei punti interrogativi “?”. Questi rappresentano le incognite del nostro problema e sono le cardinalità degli insiemi colorati.
Per calcolare quanti studenti praticano SOLO calcio (insieme giallo) basta fare la sottrazione $12-5=7$. Infatti se sottraiamo dai $12$ studenti che praticano calcio i $5$ che praticano sia calcio che basket otteniamo che $7$ studenti praticano solo calcio. Usando la cardinalità possiamo dire che:
$|giallo|=|A|-|A\cap B|=12-5=7$
Possiamo fare lo stesso ragionamento per trovare gli studenti che praticano solo basket (insieme viola). La sottrazione $8-5=3$ ci dice che gli studenti che praticano solo basket sono $3$.
$|viola|=|B|-|A\cap B|=8-5=3$
Non ci resta che trovare quanti studenti non praticano né calcio né basket (insieme azzurro). In questo caso dobbiamo togliere dall’insieme universo tutti gli studenti che praticano ALMENO uno dei due sport.
L’insieme degli studenti che praticano almeno uno dei due sport è l’insieme unione $A\cup B$.
Qui bisogna stare attenti a sommare i numeri giusti, infatti gli studenti che praticano almeno uno dei due sport sono $7+5+3=15$. Bisogna fare ATTENZIONE a NON sommare quelli che giocano a calcio (12) con quelli che giocano a basket (8) perché conteremmo due volte quelli che praticano sia a calcio che a basket!
Quindi possiamo concludere che gli studenti che non praticano né calcio né basket $22-15=7$.
$|azzurro|=|U|-|A\cup B|=22-15=7$
Completiamo quindi il diagramma inserendo i valori trovati, il risultato finale sarà il seguente:
Per controllare la correttezza dello svolgimento se sommiamo il numero di studenti delle varie aree colorate dovremmo ottenere il numero di studenti dell’insieme universo $U$ e infatti $7+5+3+7=22$. Se così non fosse avremmo sicuramente sbagliato qualcosa!
ESEMPIO 2
- Un ragazzo per andare a scuola può scegliere se andare a piedi o in bicicletta seguendo tre itinerari diversi $a,b,c$ della stessa lunghezza. Quante sono le possibili scelte del ragazzo?
Anche questa tipologia di problemi è risolvibile utilizzando le tecniche degli insiemi, che in questo caso consiste nell’utilizzo del prodotto cartesiano.
Come prima cosa definiamo due insiemi $A$ e $B$, il primo rappresenta le alternative per il “mezzo di trasporto” mentre il secondo è formato dai tre possibili itinerari percorribili:
$A=\{piedi, bici\}$
$B=\{a,b,c\}$
Quello che ci interessa è capire quante sono le possibili scelte del ragazzo per andare a scuola, cioè le possibili coppie $(x,y)$ dove $x$ è un elemento di $A$ mentre $y$ è un elemento di $B$. Ad esempio una possibilità è $(piedi,c)$, cioè il ragazzo andrà a scuola a piedi attraverso il percorso $c$.
Le possibili coppie $(x,y)$ non sono altro che gli elementi del prodotto cartesiano $A\times B$ e per trovarle useremo il metodo della tabella a doppia entrata. Il risultato è il seguente:
Quindi il prodotto cartesiano sarà:
$A\times B=\{(piedi,a), (piedi,b), (piedi,c), (bici,a), (bici,b), (bici,c)\}$
Essendoci sei coppie $(x,y)$ possiamo concludere che il ragazzo ha $6$ possibili alternative per andare a scuola.
Esercizi svolti su questa lezione? Ecco QUI