Così come si possono effettuare operazione tra numeri, è possibile effettuare alcune operazioni tra insiemi. Tuttavia le operazioni tra insiemi matematici, seppur sotto alcuni punti di vista ricordino quelle tra numeri, sono diverse e godo di proprietà differenti. Una caratteristica da ricordare è che nelle operazioni tra insiemi, partendo da due insiemi si ottiene sempre un insieme come risultato (così come nelle operazioni tra numeri si ottiene un numero come risultato).
In questa lezioni vedremo quali sono le operazioni che si possono effettuare tra insiemi, come si effettuano e come si possono rappresentare graficamente.
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
Introduciamo l’operazione di intersezione tra insiemi partendo dalla sua definizione.
Dati due insiemi $A$ e $B$, la loro intersezione, che si indica come $A \cap B$, è l’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad $A$ che a $B$. Traducendo in simboli: $A \cap B=\{x | x \in A$ e $ x \in B\}$
Quindi l’intersezione tra due insiemi $A$ e $B$ non è altro che un nuovo insieme $A\cap B$ che contiene gli elementi in comune tra i due insiemi.
Il simbolo $\cap$ viene utilizzato per indicare l’intersezione tra due insiemi.
Nella definizione abbiamo visto anche la rappresentazione in simboli dell’intersezione, tuttavia il miglior modo per immaginare l’operazione di intersezione è la rappresentazione tramite i diagrammi di Eulero-Venn.
Prima di vedere gli esempi vediamo due casi particolari.
- Cosa succede all’intersezione se ad esempio l’insieme $A$ è un sottoinsieme di $B$, cioè $A \subseteq B$ ?
L’intersezione tra un insieme e un suo sottoinsieme fornisce come risultato il sottoinsieme stesso. Quindi se $A$ è il sottoinsieme allora l’intersezione è $A\cap B = A$
Questo perché gli elementi in comune sono tutti quelli appartenenti al sottoinsieme e che devono appartenere anche all’insieme.
- Cosa succede se interseco due insiemi $A$ e $B$ che non hanno elementi in comune?
Intersecando due insiemi che non hanno elementi in comune si ottiene un insieme che non contiene elementi, cioè l’insieme vuoto $\emptyset$. In simboli l’intersezione si può scrivere come $A\cap B =\emptyset$.
Se l’intersezione tra due insiemi è l’insieme vuoto, i due insiemi si dicono disgiunti, ossia non hanno elementi in comune.
Vediamo ora qualche esempio pratico di intersezione tra insiemi.
esempi
- Determinare l’intersezione $A \cap B$ tra i due insiemi $A=\{1,2,3,4,5\}$ e $B=\{4,5,6,7\}$.
Come prima cosa dobbiamo trovare gli elementi in comune tra $A$ e $B$, che sono i numeri $4$ e $5$. Quindi l’intersezione $A\cap B$ tra i due insiemi si può scrivere come:
$A\cap B= \{4,5\}$
Ricordiamo che l’intersezione tra due insiemi è sempre un insieme!
Rappresentiamo graficamente l’intersezione tra $A$ e $B$:
L’intersezione si rappresenta andando a sovrapporre i diagrammi dei due insiemi, l’area colorata è la parte “in comune” tra $A$ e $B$ e al cui interno sono inseriti gli elementi comuni che formano l’intersezione.
- Rappresentare l’intersezione tra gli insiemi $C=\{a,b,c,d,e\}$ e $D=\{a,b,c\}$.
Gli elementi in comuni tra i due insiemi sono $a$,$b$ e $c$. Osserviamo che sono proprio tutti gli elementi dell’insieme $D$, questo perché $D$ è un sottoinsieme di $C$ ($D\subseteq C$) e quindi l’intersezione è il sottoinsieme stesso. La loro intersezione perciò è:
$C \cap D=D=\{a,b,c\}$
La rappresentazione grafica è la seguente:
L’intersezione colorata in figura è proprio il sottoinsieme $D$ che non è solo sovrapposto ma è completamente all’interno dell’insieme $C$.
- Determinare l’intersezione tra l’insieme $E=\{x\in \mathbb{N} | 5<x<9\}$ e l’insieme $F=\{1,2,3\}$.
Come prima cosa, per comodità, riscriviamo l’insieme $E$ per elencazione come $E=\{6,7,8\}$. Ora siccome vogliamo trovare l’intersezione notiamo che $E$ ed $F$ non hanno elementi in comune, sono quindi due insiemi disgiunti. Pertanto la loro intersezione è:
$E\cap F=\emptyset$
La loro rappresentazione grafica sarà:
La loro intersezione è vuota essendo disgiunti, perciò i due diagrammi non si sovrappongono non avendo elementi in comune.
UNIONE TRA INSIEMI
Un’altra fondamentale operazione tra insiemi è l’unione tra insiemi. Vediamo la sua definizione:
Dati due insiemi $A$ e $B$, la loro unione, che si scrive $A \cup B$, è l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi $A$ o $B$. Traducendo in simboli: $A\cup B = \{x | x\in A$ o $x \in B\}$
La definizione di unione è un po’ più articolata, ma in parole povere quello che vuole dire è che l’unione tra due insiemi è sempre un insieme che contiene tutti gli elementi di entrambi gli insiemi e se ci sono elementi in comune questi vanno presi una sola volta (ripetendo gli elementi il risultato non sarebbe più un insieme).
Per indicare l’unione tra due insiemi si utilizza il simbolo $\cup$.
Anche in questo caso i diagrammi di Eulero-Venn possono aiutarci a visualizzare l’operazione, in particolare è necessario partire dall’intersezione tra i due insiemi per evitare di ripetere gli elementi.
Chiariamo ora con degli esempi come mettere in pratica la definizione e come rappresentare graficamente l’operazione di unione.
esempi
- Determina l’unione $A\cup B$ degli insiemi $A=\{1,2,3,4,5\}$ e $B=\{4,5,6,7\}$.
Per unire gli insiemi dobbiamo prendere tutti gli elementi e metterli in un unico insieme chiamato $A\cup B$, ma dobbiamo stare attenti a non inserire due volte gli elementi in comune. Nel nostro caso il risultato dell’unione è l’insieme:
$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$
dove gli elementi $4$ e $5$ che sono presenti sia in $A$ che in $B$ sono stati inseriti una volta sola.
Per rappresentare graficamente l’unione tra due insiemi senza ripetere gli elementi in comune si parte dall’intersezione tra $A$ e $B$, l’unione sarà data da tutto il disegno colorato in figura:
- L’unione tra l’insieme dei numeri (positivi) pari $\mathcal{P}$ e l’insieme dei numeri dispari $\mathcal{D}$ è l’insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$, cioè $\mathcal{P} \cup \mathcal{D}=\mathbb{N}$.
NOTA: L’insieme vuoto è l’elemento neutro dell’unione, infatti $A\cup \emptyset=A$ (come lo $0$ per l’addizione). Inoltre se $A\cup B=\emptyset$ allora deve essere necessariamente che $A=\emptyset$ e $B=\emptyset$.
DIFFERENZA TRA INSIEMI
La differenza tra insiemi è molto simile all’operazione di sottrazione tra numeri. Iniziamo sempre dalla definizione:
La differenza tra due insiemi $A$ e $B$, che si scrive $A-B$ (o $A \setminus B$), è l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad $A$ ma non a $B$. Tradotto in simboli: $A-B=\{x | x \in A$ e $x\notin B\}$
Come detto, per trovare la differenza tra due insiemi si procede in modo simile alla sottrazione tra numeri. Infatti per trovare la differenza tra due insiemi bisogna “togliere” dal primo insieme gli elementi in comune con il secondo.
NOTA: Se la differenza avviene tra un insieme e un sottoinsieme, il risultato prende il nome di insieme complementare. Ad esempio consideriamo due insiemi $A$ e $B$, con $B$ sottoinsieme di $A$, allora la differenza $A-B$ viene detta anche insieme complementare $\overline{B}$ dell’insieme $B$ rispetto all’insieme $A$. L’insieme complementare $\overline{B}$ contiene tutti gli elementi di $A$ che non appartengono al sottoinsieme $B$. Unendo $B$ con il suo complementare $\overline{B}$ si ottiene $A$, cioè $B\cup \overline{B}=A$.
Anche nel caso della differenza, la rappresentazione grafica è di grande aiuto per capire il significato dell’operazione.
Vediamo un paio di esempi.
ESEMPI
- Determina la differenza $A-B$ tra l’insieme $A=\{1,2,3,4,5\}$ e l’insieme $B=\{4,5,6,7\}$.
Per trovare la differenza dobbiamo togliere da $A$ gli elementi in comune con $B$ che sono $4$ e $5$.
Quindi la differenza tra i due insieme è data dall’insieme:
$A-B=\{1,2,3\}$
Per rappresentare graficamente la differenza partiamo dal disegno dell’intersezione tra $A$ e $B$, la differenza tra $A$ e $B$ sarà data dalla parte di $A$ che non ha elementi in comune con $B$, cioè quella colorata in figura:
- La differenza tra l’insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ e l’insieme dei numeri dispari $\mathcal{D}$ è l’insieme dei numeri pari $\mathcal{P}$, cioè $\mathbb{N}-\mathcal{D}=\mathcal{P}$.
- Determina la differenza tra l’insieme $C=\{1,2,3,4\}$ e l’insieme $D=\{1,2\}$.
Per trovare la differenza $C-D$ dobbiamo eliminare da $C$ gli elementi in comune con $D$, che sono gli elementi $1$ e $2$. Notiamo però che $D$ ha tutti gli elementi in comune con $C$, questo perché è un sottoinsieme di $C$. Quindi la differenza $C-D$ può essere chiamata anche insieme complementare $\overline{D}$ dell’insieme $D$ rispetto all’insieme $C$ e possiamo scriverla come:
$C-D=\overline{D}=\{3,4\}$
Graficamente possiamo rappresentare il complementare (cioè la differenza tra insieme e sottoinsieme) nel seguente modo:
PRODOTTO CARTESIANO TRA INSIEMI
L’ultima operazione che vediamo è il prodotto cartesiano tra insiemi.
Il prodotto cartesiano tra due insiemi $A$ e $B$, che si indica con il simbolo $A \times B$, è l’insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate $(a,b)$ costruite prendendo il primo elemento da $A$ e il secondo da $B$. Tradotto in simboli: $A\times B= \{(a,b)| a\in A$ e $b\in B\}$
Come prima cosa notiamo che gli elementi dell’insieme prodotto cartesiano $A\times B$ sono delle coppie ordinate, “ordinate” significa che l’ordine è importante. Ad esempio la coppia ordinata $(cane, gatto)$ è diversa dalla coppia ordinata $(gatto, cane)$. Per questo motivo vale la regola $A\times B \neq B\times A$.
NOTA: Si può determinare il prodotto cartesiano anche per più di due insiemi, ad esempio $A\times B\times C\times …$
La principale difficoltà nel determinare il prodotto cartesiano tra due insiemi è la formazione di tutte le possibili coppie ordinate. Chiaramente più sono numerosi gli insiemi più la situazione si complica.
Fortunatamente ci sono varie tecniche che possono essere utilizzate per determinare tutte le possibili coppie. Le tecniche vedremo sono: il diagramma ad albero, la tabella a doppia entrata, il diagramma cartesiano. Le spiegheremo mettendole all’opera in un esempio.
ESEMPIO
- Determina il prodotto cartesiano $A\times B$ degli insiemi $A=\{a,b,c\}$ e $B=\{1,2\}$.
Per determinare il prodotto cartesiano $A\times B$ è necessario trovare tutte le possibili coppie ordinate $(x,y)$ con dove il primo termine $x$ viene preso dall’insieme $A$, mentre il secondo termine $y$ viene preso dall’insieme $B$.
Per trovare tutte le coppie possibili utilizzeremo le tre tecniche nominate, il risultato sarà ovviamente identico per ogni tecnica e verrà riportato alla fine dell’esercizio.
Partiamo dalla tecnica del diagramma ad albero: dobbiamo costruire un “albero” che possiede tanti rami primari quanti sono gli elementi del primo insieme $A$, dalla punta di ogni ramo primario partono tanti rami secondari quanti sono gli elementi del secondo insieme $B$. Le coppie ordinate si costruiscono agli apici, mettendo al primo posto l’elemento del ramo primario e al secondo posto l’elemento del ramo secondario. Il risultato che si ottiene è il seguente:
Otteniamo quindi le sei coppie ordinate scritte in figura.
Vediamo ora la tecnica della tabella a doppia entrata: si costruisce un tabella che nella prima colonna contiene gli elementi del primo insieme $A$, mentre nella prima riga gli elementi del secondo insieme $B$. Le coppie ordinate si costruiscono nelle celle di incrocio tra gli elementi della prima colonna e della prima riga. Il risultato che si ottiene è il seguente:
Anche in questo caso vediamo che ci sono le stesse sei coppie ordinate.
Concludiamo con la tecnica del diagramma cartesiano: si disegnano due assi cartesiani perpendicolari, lungo l’asse orizzontale si fissano gli elementi del primo insieme $A$ mentre lungo l’asse verticale si fissano gli elementi del secondo insieme $B$. Da ogni elemento si traccia un linea tratteggiata perpendicolare all’asse di riferimento. Le coppie ordinate corrispondono ai punti di intersezione tra le linee tratteggiate verticali con quelle orizzontali. Il risultato ottenuto è il seguente:
Otteniamo sempre le stesse sei coppie ordinate. Quindi tutte e tre le tecniche forniscono le stesse coppie ordinate.
Possiamo concludere l’esercizio affermando che il prodotto cartesiano tra l’insieme $A$ e l’insieme $B$ è:
$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$
Esercizi svolti su questa lezione? Ecco QUI