La necessità di “contare” risale a tempi antichissimi, l’invenzione della scrittura dei numeri avvenne ben prima della scrittura della lingua. L’esigenza di quantificare era ed è imprescindibile, nella vita di tutti i giorni non possiamo evitare di fare uso dei numeri, che sia per misurare lo scorrere del tempo o per contare quantità.
I numeri che usiamo per le operazioni elementari vengono chiamati numeri naturali, ad esempio $0,1,2,3…$. Abbiamo già accennato all’insieme dei numeri naturali parlando di insiemi infiniti. Vedremo ora alcune proprietà di questo insieme fondamentale.
Come detto l’insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ è un insieme infinito, cioè contiene un numero infinito di elementi. Tuttavia nonostante non abbia una fine gli elementi hanno un inizio, un limite inferiore oltre il quale non si può andare cioè il numero $0$.
I numeri naturali possono essere infatti messi in ordine, o meglio in successione. Si parte da $0$ e si procede aggiungendo un’unità alla volta, si ottiene così la successione dei numeri naturali
$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12….$
la successione procede all’infinito ma come si può notare non c’è nessun numero che precede lo $0$.
Ogni numero naturale ha un suo successivo, se infatti prendiamo un numero qualsiasi $a$ il suo successivo è $a+1$, si somma quindi un’unità. Ad esempio se $a=6$ allora $a+1=6+1=7$ è il suo successivo.
Tutti i numeri tranne lo zero hanno un precedente, prendendo un numero qualsiasi $a$ il suo precedente è $a-1$, cioè si toglie un’unità. Ad esempio se $a=6$ il suo precedente è $a-1=6-1=5$.
I numeri naturali possono essere formati da più cifre (unità, decine, centinaia, ecc.) ma ogni cifra sarà un simbolo appartenente al sottoinsieme ${0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$. Con questi simboli si può formare qualsiasi numero naturale.
Si possono definire due sottoinsiemi particolari di $\mathbb{N}$ che sono l’insieme dei numeri apri e l’insieme dei numeri dispari. Un numero è pari se la sua ultima cifra è una delle seguenti: $0,2,4,6,8$. Un numero è dispari se la sua ultima cifra è una delle seguenti: $1,3,5,7,9$.
Un modo spesso utile di rappresentare la successione dei numeri naturali è quello di inserirli in una semiretta orientata. Si disegna una semiretta orizzontale che termina con una freccia. Si fissa un’unità di misura (ad esempio $1 quadretto=1$), si fa corrispondere lo $0$ all’origine della semiretta e partendo da quel punto si scrive il numero successivo dopo uno spazio grande quanto l’unità di misura scelta procedendo verso la freccia. Ad esempio scelto il quadretto come unità di misura si inserisce ad ogni quadretto il numero successivo. Ecco una figura d’esempio:
Due numeri naturali qualsiasi possono essere confrontati tra loro.
Due numeri naturali qualsiasi $m$ ed $n$ si dicono eguali $m=n$ se occupano lo stesso posto nella successione (cioè anche nella retta) dei numeri naturali. Altrimenti si dicono diseguali $m\ne n$.
Presi due numeri naturali qualsiasi $m$ ed $n$, si dice che $m$ è minore di $n$ cioè $m<n$, se lo precede nella successione dei numeri naturali. Mentre se $m$ è maggiore di $n$ cioè $m>n$, allora lo segue nella successione dei numeri naturali.
Ad esempio $7$ è minore di $9$, cioè $7<9$. Mentre $8$ è maggiore di $3$, cioè $8>3$.
L’insieme $\mathbb{N}$ è quindi un insieme ordinato essendo possibile ordinare i suoi elementi.