GLI INSIEMI MATEMATICI

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Il concetto di insieme matematico si avvicina molto a ciò che comunemente si intende per insieme, raggruppamento o collezione di elementi o oggetti. La differenza tra il concetto comune di insieme e il concetto di insieme matematico sta nella definizione più rigorosa e accurata di quest’ultimo.

In questa lezione vedremo e analizzeremo la definizione di insieme (matematico) e qualche semplice concetto di teoria degli insiemi matematici.

DEFINIZIONE DI INSIEME

Come detto vediamo qual è la definizione di insieme che si utilizza in matematica e cerchiamo poi di evidenziarne i dettagli fondamentali:

Un insieme (matematico) è una collezione di elementi unici, tale che sia possibile determinare in modo univoco se un elemento fa parte o no di questa collezione.

Nella definizione sono sottolineate le proprietà che deve avere un insieme per essere ben definito dal punto di vista matematico, vediamole un po’ più nel dettaglio:

  • Unicità: in un insieme ciascun elemento deve essere unico, cioè non può essere ripetuto più di una volta
  • Univocità: è necessario che sia possibile determinare in modo certo e oggettivo se un elemento fa parte dell’insieme, ad esempio attraverso una caratteristica oggettiva che accomuna gli elementi

Esempi

Vediamo quali tra gli insiemi proposti rispettano le due proprietà appena descritte che caratterizzano gli insiemi matematici.

  • L’insieme delle province del Veneto: questo è sicuramente un insieme, infatti ogni elemento è unico ed è possibile capire se un elemento qualsiasi appartiene o no a questo insieme.
  • L’insieme dei compagni di classe più simpatici: questo non è un insieme, non viene rispettata l’univocità perché la “simpatia” non è una caratteristica oggettiva. I compagni che sono più simpatici ad una persona non è detto lo siano anche ad un’altra.
  • L’insieme di numeri $1,3,4,5,4$: nemmeno questo è un insieme perché non viene rispettata l’unicità, infatti il numero $4$ è ripetuto più di una volta.

NOTAZIONE E QUALCHE DEFINIZIONE PARTICOLARE

Nella teoria degli insieme si cerca di rispettare una notazione uniforme, la “tradizione” vuole che agli insiemi venga attribuita una lettera maiuscola dell’alfabeto $A, B, C, D,…$ mentre agli elementi una lettera minuscola $a,b,c,d,…$. Questo ha lo scopo di evitare di dover scrivere per esteso l’insieme ogni volta.

Immaginiamo ora di dover dire che un elemento $a$ appartiene all’insieme $A$, sempre con l’intento di abbreviare la scrittura i matematici hanno inventato il simbolo di appartenenza $\in$, per cui si può scrivere:

$a\in A$

e si legge “l’elemento $a$ appartiene all’insieme $A$”.

Mentre per dire che un elemento $b$ non appartiene all’insieme $B$ si utilizza il simbolo di non appartenenza $\notin$, cioè:

$b\notin B$

e si legge “l’elemento $b$ non appartiene all’insieme $B$”.

NOTA: i simboli di appartenenza $\in$ e non appartenenza $\notin$ hanno senso solamente se utilizzati tra un elemento a sinistra e un insieme a destra. Quindi è sbagliato scrivere $A\in B$ o $A\in a$, nel primo caso perché il simbolo è utilizzato tra due insiemi mentre nel secondo caso perché non sono nell’ordine corretto.

esempi

Consideriamo l’insieme dei numeri $2,5,8,9,15$ e gli attribuiamo la lettera $A$.

La frase “il numero $8$ appartiene all’insieme di numeri $2,5,8,9,15$” si scrive semplicemente:

$8\in A$

mentre la frase “il numero $7$ non appartiene all’insieme dei numeri $2,5,8,9,15$” si scrive:

$7\notin A$


Vediamo ora qualche altra definizione utile quando si parla di insiemi matematici. Una distinzione tra gli insiemi riguarda il numero di elementi che contengono, si possono distinguere due categorie:

  • insiemi finiti: contengono un numero limitato di elementi
  • insiemi infiniti: contengono un numero infinito di elementi

Se consideriamo un insieme $A$ finito potremmo essere interessati a sapere quanti elementi contiene, questa informazione è fornita dalla cardinalità dell’insieme che si indica con il simbolo $|A|$.

ESEMPI

  • Se $B$ è l’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano, da quanti elementi è composto $B$ ? Sappiamo che $B$ è un insieme finito perché le vocali dell’alfabeto italiano sono cinque. La sua cardinalità è cinque e si indica scrivendo $|B|=5$.
  • Degli insiemi infiniti sono l’insieme dei numeri naturali, l’insieme dei punti di una retta e l’insieme dei multipli di $5$.

Esiste un insieme che non contiene elementi? Certamente, si chiama insieme vuoto e viene indicato con il simbolo $\emptyset$ o con il simbolo $\{\}$. L’insieme vuoto è considerato un insieme finito che contiene zero elementi, ha quindi cardinalità zero cioè $|\emptyset|=0$.

ESEMPI

Un esempio di insieme vuoto è l’insieme dei cavalli con le ali o l’insieme dei numeri dispari multipli di $2$ (questo perché tutti i multipli di $2$ sono pari).


Concludiamo la lezione con l’uguaglianza tra insiemi: due insiemi $A$ e $B$ si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi e si scrive che $A=B$. Se non sono uguali sono diversi e si scrive $A \neq B$.

ESEMPI

  • Consideriamo l’insieme $A$ delle lettere della parola nipote e l’insieme $B$ delle lettere della parola pitone. Il primo è formato dalle lettere “n,i,p,o,t,e” mentre il secondo dalle lettere “p,i,t,o,n,e”. Controllando bene le lettere sono proprio le stesse, quindi i due insiemi sono uguali, cioè $A=B$.

NOTA: negli insiemi l’ordine con cui si scrivono gli elementi non è importante!

  • L’insieme $C$ dei fiumi del Trentino e l’insieme $D$ dei fiumi della Sicilia sono sicuramente due insiemi diversi perché sicuramente non hanno gli stessi fiumi, quindi $C \neq D$.

Gli insiemi visti finora come esempio sono stati scritti “a parole”, un metodo né elegante né utile. I modi più utilizzati per scrivere un insieme sono tre e li vedremo nella lezione sulla rappresentazione degli insiemi.


Esercizi svolti su questa lezione? Ecco QUI