Nella lezione precedente abbiamo introdotto il concetto di insieme matematico senza descrivere quali sono i modi in cui vengono rappresentati gli insiemi (matematici). In questa lezione studieremo quali sono i modi utilizzati per rappresentare un insieme e quali sono i vantaggi e gli svantaggi di ciascuno.
I modi principalmente utilizzati per rappresentare un insieme sono tre:
- rappresentazione grafica (diagrammi di Eulero-Venn)
- rappresentazione per elencazione
- rappresentazione per caratteristica
Come esempio per descrivere al meglio le tre rappresentazioni utilizzeremo l’insieme $A$ delle consonanti della parola montagna, che ha come elementi le lettere “m,n,t,g”.
Vediamo ora caso per caso come può essere rappresentato questo insieme.
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
Nella rappresentazione grafica un insieme viene raffigurato da una curva chiusa (solitamente un ovale) che prende il nome di diagramma di Eulero-Venn. Dentro questo diagramma vengono inseriti tutti gli elementi che fanno parte di quell’insieme.
L’insieme $A$ formato dalle consonanti della parola montagna può essere rappresentato per via grafica dal seguente diagramma. L’insieme $A$ è l’ovale mentre all’interno sono presenti i suoi elementi “m,n,t,g”.
ESEMPI
Rappresentiamo graficamente i seguenti insiemi.
- L’insieme $B$ dei divisori del numero $4$
- L’insieme $C$ delle vocali dell’alfabeto italiano
VANTAGGI E SVANTAGGI DELLA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
Nonostante possa sembrare un modo un po’ infantile di rappresentare un insieme, la rappresentazione grafica è di certo la rappresentazione più utile quando si tratta di risolvere problemi. Permette infatti di visualizzare più facilmente i dati in possesso ed è di grande aiuto soprattutto quando si ha a che fare con l’unione ed l’intersezione di più insiemi.
Di contro, essendo poco compatta, ha lo svantaggio di essere poco applicabile quando si ha a che fare con insiemi con molti elementi.
RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE
La rappresentazione per elencazione è il modo più “naturale” di rappresentare un insieme, consiste infatti nel creare una lista formata dagli elementi dell’insieme. La lista va inserita tra parentesi graffe con gli elementi separati da virgole.
Vediamo subito il nostro insieme d’esempio $A$ come verrebbe rappresentato per elencazione:
$A=\{m,n,t,g\}$
ESEMPI
Vediamo qualche altro esempio di insiemi rappresentati per elencazione.
- L’insieme $B$ delle province del Friuli Venezia Giulia: $B=\{Pordenone, Gorizia, Udine, Trieste\}$
- L’insieme $C$ dei numeri maggiori di $2$ e minori di $8$: $C=\{3,4,5,6,7\}$
- L’insieme $D$ delle lettere della parola lettiera: $D=\{l,e,t,i,r,a\}$
VANTAGGI E SVANTAGGI DELLA RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE
Come detto la rappresentazione per elencazione è la più “naturale” tra le tre, risultata più compatta di quella grafica ed è quindi l’ideale per scrivere sia insiemi con pochi elementi che con un numero discreto. Purtroppo questa rappresentazione è meno indicata per risolvere alcune tipologie di esercizi, soprattutto nel caso di insiemi grandi per i quali l’elenco di elementi diventa davvero troppo lungo.
In particolari casi può essere utilizzata per insiemi infiniti, ma solo se la caratteristica che accomuna gli elementi è facilmente intuibile. Ad esempio, consideriamo il seguente insieme:
$P=\{2,4,6,8,10,…\}$
un occhio attento vede subito che questo è l’insieme dei numeri pari, che è un insieme infinito.
Invece risulta ben più difficile capire quale sia il seguente insieme:
$\mathcal{P}=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…\}$
che è l’insieme dei numeri primi, anch’esso infinito.
Per questo solitamente si evita l’elencazione per insiemi infiniti non facilmente riconoscibili.
RAPPRESENTAZIONE PER CARATTERISTICA
Vediamo infine la rappresentazione per caratteristica, che consiste nel definire e scrivere una caratteristica oggettiva che accomuna tutti gli elementi dell’insieme, senza aggiungerne altri ovviamente.
Utilizzando questa rappresentazione, il nostro solito esempio con l’insieme $A$ formato dalle consonanti della parola montagna si scrive come:
$A$=$\{x | x$ è una consonante della parola montagna$\}$
oppure è possibile sostituire il simbolo $|$ con i due punti $:$
$A$=$\{x : x$ è una consonante della parola montagna$\}$
in entrambi i casi si legge: “l’insieme $A$ è composto dagli elementi $x$ tali che $x$ è una consonante della parola montagna“.
In questo caso trovare la caratteristica è stato banale perché la sapevamo dall’inizio, ma non sempre è così facile. Vediamo qualche altro caso differente.
esempi
- Scriviamo l’insieme $B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ per caratteristica
In questo caso dobbiamo trovare una caratteristica che accomuna tutti gli elementi, ad esempi tutti i numeri nell’elenco sono numeri naturali maggiori di $0$ e minori di $9$. Quindi la rappresentazione per caratteristica può essere:
$B$=$\{x | x$ è un numero naturale maggiore di $0$ e minore di $9$ $\}$
ma utilizzando dei simboli matematici può essere abbreviata nel seguente modo:
$B$=$\{x | x\in \mathbb{N}, 0<x<9\}$
dove la virgola rappresenta una congiunzione “e” che separa la caratteristica di essere un numero naturale $x\in \mathbb{N}$ dalla caratteristica di essere maggiore di $0$ e minore di $9$ cioè $0<x<9$.
Una versione alternativa consiste nello spostare all’inizio la caratteristica $x\in \mathbb{N}$ ottenendo la seguente rappresentazione:
$B$=$\{x\in \mathbb{N}\hspace{0.1cm} |\hspace{0.1cm} 0<x<9\}$
che si legge “l’insieme $B$ è composto dagli elementi $x$ appartenenti ai numeri naturali tali che $x$ è maggiore di zero e minore di nove”. L’insieme $\mathbb{N}$ assume il ruolo di insieme universo (o insieme ambiente), cioè un insieme più grande che contiene anche tutti gli elementi di $B$ e dal quale noi selezioniamo alcuni elementi, nel nostro caso quelli che rispettano la caratteristica $0<x<9$.
- Proviamo ora a scrivere l’insieme $C=\{a,b,c,d,e,f\}$ utilizzando la rappresentazione per caratteristica
Gli elementi dell’insieme $C$ sono le prime sei lettere dell’alfabeto italiano, quindi per caratteristica l’insieme si scrive come:
$C$=$\{x | x$ è una delle prime sei lettere dell’alfabeto italiano$\}$
- Concludiamo gli esempi con l’insieme $D=\{2,4,6,8,10,12,…\}$ e scriviamo per caratteristica
L’insieme $D$ è infinito, ma possiede la caratteristica di contenere come elementi numeri positivi multipli di $2$, quindi:
$D$=$\{x | x$ è un multiplo positivo di $2$ $\}$
altrimenti utilizzando il “matematichese” si può scrivere come:
$D$=$\{x | x=2n$ con $n\in \mathbb{N}, n\ge 1\}$
dove per ottenere gli elementi (cioè i multipli di $2$) basta fare la moltiplicazione $2\cdot n$ inserendo al posto di $n$ i numeri naturali $1,2,3,…$ uno alla volta.
VANTAGGI E SVANTAGGI DELLA RAPPRESENTAZIONE PER CARATTERISTICA
Come visto nell’ultimo esempio, il principale vantaggio della rappresentazione per caratteristica sta nella capacità di rappresentare in modo compatto anche gli insiemi infiniti. La parte difficile è trovare una caratteristica comune a tutti gli elementi e scriverla correttamente.
Dobbiamo però fare qualche due osservazioni. La prima è che non sempre è possibile utilizzare questa rappresentazione perché può essere che non esista una caratteristica che accomuna tutti gli elementi, ad esempio per l’insieme $E=\{1,2, 940\}$. La seconda osservazione è che per uno stesso insieme si possono trovare modi diversi di scrivere la caratteristica, ad esempio $F=\{3,4,5\}$ si può scrivere sia come:
$F$=$\{x\in \mathbb{N}\hspace{0.1cm} |\hspace{0.1cm} 2<x<6\}$
ma anche come
$F$=$\{x\in \mathbb{N}\hspace{0.1cm} |\hspace{0.1cm} 3\le x \le 5\}$
Esercizi svolti su questa lezione? Ecco QUI