Immaginiamo di disegnare nel piano cartesiano una retta ed una parabola, in quanti modi queste due figure possono intersecarsi?
In questa lezione vedremo quali sono le possibili posizioni di una retta rispetto ad una parabola, affrontando il problema prima dal punto di vista grafico e poi dal punto di vista algebrico.
Indice:
- Posizione di una retta rispetto ad una parabola nel piano cartesiano
- Posizione retta-parabola metodo algebrico
POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UNA PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO
Se disegniamo una retta ed una parabola nel piano cartesiano queste possono presentarsi in tre diverse posizioni reciproche schematizzate nella figura sottostante:
Dalla figura possiamo osservare che:
- le retta blu è secante alla parabola perché ha due punti di intersezione $P_2$ e $P_3$
- la retta arancione è tangente alla parabola perché ha un solo punto di intersezione $P_1$
- la retta verde è esterna alla parabola perché non ha punti di intersezione
Quindi per determinare in quale delle tre posizioni si trova una retta rispetto alla parabola è sufficiente realizzare un disegno delle due figure e vedere quanti sono i punti di intersezione. Chiaramente per effettuare il disegno è necessario conoscere le equazioni della retta e della parabola.
Vediamo ora un metodo alternativo molto più rapido e preciso, in quanto non si basa su un disegno, ma che sfrutta calcoli algebrici.
POSIZIONE RETTA-PARABOLA METODO ALGEBRICO
Per determinare in che posizione si trovano una retta ed una parabola con assoluta precisione è possibile usare un metodo algebrico, tuttavia per poterlo applicare è indispensabile conoscere le equazioni della retta e della parabola.
Assumiamo di conoscere le equazioni della parabola e della retta, allora possiamo metterle entrambe a sistema nel seguente modo:
\[\begin{cases} y=ax^2+bx+c \\ y=mx+q \end{cases}\]
Per risolvere questo sistema il modo più comodo solitamente è quello del confronto. Infatti applicando questo metodo la variabile $y$ scompare e si ottiene un’equazione di secondo grado nella variabile $x$:
$Ax^2+Bx+C=0$
a questo punto possiamo dimenticarci del sistema, infatti questa equazione è tutto ciò che ci serve per trovare i punti di intersezione (se ci sono).
Risolvendo l’equazione di secondo grado, calcolando il delta $\Delta$, possiamo incontrare tre casi differenti:
- se $\Delta<0$ l’equazione non ha soluzioni, quindi non ci sono intersezioni e quindi la retta è esterna alla parabola
- se $\Delta=0$ l’equazione ha due soluzioni coincidenti, quindi c’è un solo punto di intersezione e quindi la retta è tangente alla parabola
- se $\Delta>0$ l’equazione ha due soluzioni, quindi ci sono due punti di intersezione e quindi la retta è secante alla parabola.
Se la retta è tangente o secante l’equazione ci fornisce uno o due valori di $x$ che corrispondono all’ascissa del punto (o punti) di intersezione tra la retta e la parabola. Per trovare la coordinate $y$ di tali punti possiamo inserire il valore di $x$ nell’equazione della retta.
Chiariamo il procedimento con un esempio svolto.
esempio
- Data la retta $y=2x+1$ e la parabola $y=3x^2-4x+4$ determina se la retta è secante, tangente o esterna alla parabola e trova le coordinate degli eventuali punti di intersezione.
Per scoprire la posizione della retta rispetto alla parabola mettiamo a sistema le due equazioni:
\[\begin{cases} y=3x^2-4x+4 \\ y=2x+1 \end{cases}\]
il modo migliore per risolvere il sistema è con il metodo del confronto, andiamo quindi ad eguagliare le due equazione ottenendo:
$3x^2-4x+4=2x+1$
spostiamo tutti i termini a sinistra e sommiamo quelli simili, si ottiene la seguente equazione di secondo grado:
$3x^2-6x+3=0$
Dobbiamo risolvere questa equazione per calcolare i punti di intersezione. Partiamo dal calcolo del delta:
$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$
Quindi siccome abbiamo ottenuto che $\Delta=0$ allora per quanto visto in questa lezione la retta sarà tangente alla parabola, cioè avrà un solo punto di intersezione.
Calcoliamo le coordinate del punto di intersezione proseguendo con la risoluzione dell’equazione:
$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6 \pm 0}{6}=1$
Quindi la soluzione dell’equazione è solo una, cioè $x=1$, che è l’ascissa del punto di intersezione. Per trovare la coordinate $y$ andiamo ad inserire $x=1$ nell’equazione della retta:
$y=2\cdot 1+1=3$
Concludiamo che le coordinate del punto $P$ di intersezione sono $P=(1,3)$.
Per completezza diamo una rappresentazione grafica:
Esercizi svolti su questa lezione? Ecco QUI