POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UNA ELLISSE

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Data una retta e una ellisse nel piano cartesiano è possibile chiedersi in che posizione si trova la retta rispetto all’ellisse. In questa lezione vedremo che ci sono tre possibili posizioni e impareremo a riconoscerle sia graficamente (dal disegno) che algebricamente (cioè attraverso dei calcoli).

L’indice della lezione è il seguente:

POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UNA ELLISSE NEL PIANO CARTESIANO

Consideriamo una retta ed una ellisse nel piano cartesiano, queste due figure possono trovarsi in tre diverse posizioni reciproche che vediamo in figura.

posizione retta ellisse

Distinguiamo quindi tre casi:

  • la retta viola è esterna all’ellisse perché non ha punti di intersezione
  • la retta rossa è tangente all’ellisse perché ha un punto di intersezione $P_1$
  • la retta verde è secante all’ellisse perché ha due punti di intersezione $P_2$ e $P_3$

Quindi se conosciamo sia l’equazione della retta che l’equazione dell’ellisse possiamo disegnarle nel piano cartesiano e capire se la retta è esterna, tangente o secante osservando il disegno.

Tuttavia questo metodo può risultare un po’ lungo e il disegno non è detto che sia preciso se fatto a mano, per questo in genere si preferisce il metodo algebrico per scoprire in che posizione sono la retta e l’ellisse.

POSIZIONE RETTA-ELLISSE METODO ALGEBRICO

Se con conosciamo le equazioni della retta e dell’ellisse, il metodo algebrico permette di scoprire se una retta è esterna, tangente o secante ad una ellisse attraverso dei semplici calcoli.

Immaginiamo di avere l’equazione dell’ellisse e l’equazione della retta, per scoprire se hanno dei punti in comune (cioè dei punti di intersezione) le mettiamo entrambe a sistema nel seguente modo:

\[\begin{cases}\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \\ y=mx+q \end{cases}\]

lo scopo è risolvere questo sistema, di solito il metodo più conveniente è quello di sostituzione. Se sostituiamo l’equazione della retta alla $y$ dell’ellisse e sistemiamo i vari termini otteniamo una equazione di secondo grado in $x$ del tipo:

$Ax^2+Bx+C=0$

che se risolta ci darà le ascisse degli (eventuali) punti di intersezione.

Quando calcoliamo il delta dell’equazione di secondo grado possiamo distinguere i soliti tre casi:

  • se $\Delta<0$ l’equazione non ha soluzioni, quindi non ci sono intersezioni e quindi la retta è esterna all’ellisse
  • se $\Delta=0$ l’equazione ha due soluzioni coincidenti, quindi c’è un solo punto di intersezione e quindi la retta è tangente all’ellisse
  • se $\Delta>0$ l’equazione ha due soluzioni, quindi ci sono due punti di intersezione e quindi la retta è secante all’ellisse.

Nel caso di retta tangente o secante l’equazione ci fornisce la $x$ dei punto (punti) di intersezione, per trovare l’ordinata $y$ del punto di intersezione basta sostituire il valore di $x$ nell’equazione della retta.

Vediamo un breve esempio, altri esercizi svolti sono disponibili nella pagina di esercizi della lezione.

ESEMPIO

  • Data la retta $y=-2x+4$ e l’ellisse $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{4}=1$ determina se la retta è esterna, tangente o secante e trova le coordinate degli eventuali punti di intersezione.

Mettiamo le due equazioni a sistema:

\[\begin{cases}\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{4}=1 \\ y=-2x+4 \end{cases}\]

e sostituendo l’equazione della retta in quella dell’ellisse otteniamo:

$\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{(-2x+4)^2}{4}=1$

$\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{4x^2-16x+16}{4}=1$

$\dfrac{x^2}{3}+x^2-4x+4=1$

cioè otteniamo l’equazione di secondo grado:

$\dfrac{4}{3}x^2-4x+3=0$

Quindi calcoliamo il delta:

$\Delta = b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot \left(\dfrac{4}{3}\right)\cdot 3=16-16=0$

allora siccome $\Delta=0$ la retta è tangente all’ellisse e avrà quindi un solo punto di intersezione.

Continuiamo a risolvere l’equazione per trovare la $x$ dell’unico punto di intersezione:

$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4\pm 0}{2\cdot \dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{2}$

Per trovare la $y$ del punto di intersezione sostituiamo $x=\dfrac{3}{2}$ nell’equazione della retta:

$y=-2\cdot \dfrac{3}{2}+4=1$

Quindi il punto $P$ di intersezione tra le retta e l’ellisse ha coordinate:

$P=\left(\dfrac{3}{2},1\right)$

Per completezza mostriamo graficamente cosa abbiamo ottenuto:

esempio retta tangente ad una ellisse

Esercizi svolti su questa lezione? Ecco QUI