La parabola è una figura piana che rientra tra le coniche, cioè quelle figure generate dall’intersezione tra un piano e la superficie di un cono.
In questa lezione cercheremo di affrontare i principali aspetti che si affrontano durante lo studio della parabola alle scuole superiori. L’argomento è molto vasto, daremo la definizione di parabola e analizzeremo l’equazione della parabola con tutte le caratteristiche e le formule che ne derivano.
Sono poi presentate più brevemente alcune parti, quali la posizione retta-parabola e la condizione di tangenza, come si procede per determinare l’equazione di una parabola partendo da alcune informazioni e infine i fasci di parabole. Questi argomenti verranno poi approfonditi in lezioni dedicate.
Qui l’indice seguito in questo lezione:
- Definizione ed equazione della parabola
- Posizione retta-parabola e condizione di tangenza
- Come determinare l’equazione di una parabola
- Fasci di parabole
Per gli esercizi sulla parabola rimandiamo alla pagina degli esercizi svolti sulla parabola.
DEFINIZIONE ED EQUAZIONE DELLA PARABOLA
Vediamo ora qual è la definizione di parabola.
Dato un punto $F$ e un una retta $d$, si definisce parabola l’insieme di tutti i punti $P$ del piano che sono equidistanti da $F$ e da $d$.
Per appartenere alla parabola un punto deve avere la stessa distanza sia dal punto $F$ che dalla retta $d$. Infatti dalla figura possiamo vedere che prendendo il punto $P_1$ si ha che:
$\overline{P_1P’_1}=\overline{P_1F}$
cioè il segmento che collega $P_1$ con $P_1’$ è lungo quanto il segmento che collega $P_1$ a $F$.
La stessa cosa vale per il punto $P_2$ e per qualsiasi altro punto sulla parabola.
Prima di addentrarci nei dettagli vediamo un po’ di nomenclatura:
- il punto $F$ è detto fuoco della parabola
- la retta $d$ è detta direttrice della parabola
- la retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice è detta asse delle parabola, tale asse è anche asse di simmetria per la parabola
- il punto di intersezione tra l’asse delle parabola e la parabola stessa è detto vertice $V$ della parabola
Una parabola può essere orientata in qualsiasi modo nel piano, tuttavia noi ci limiteremo a considerare parabole verticali (con asse parallelo all’asse $y$) e orizzontali (con asse parallelo all’asse $x$).
Vediamo ora qual è l’equazione e le caratteristiche di questi tipi di parabola:
parabola con asse parallelo all’asse y
L’equazione che descrive una generica parabola con asse parallelo all’asse $y$ è:
$y=ax^2+bx+c$
dove i coefficienti $a$, $b$ e $c$ possono essere dei numeri qualsiasi.
Conoscendo i coefficienti è possibile utilizzare le seguenti formule per calcolare varie caratteristiche della parabola:
VERTICE
$V=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right)=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)$
FUOCO
$F=\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{1-\Delta}{4a}\right)$
ASSE
$x=-\dfrac{b}{2a}$
DIRETTRICE
$y=-\dfrac{1+\Delta}{4a}$
Un esempio di parabola è il seguente:
$y=2x^2+4x+1$
il cui grafico nel piano cartesiano è:
Dai coefficienti dell’equazione possiamo ottenere importanti informazioni sulla forma della parabola senza effettuare calcoli. Ad esempio il valore del coefficiente $a$ regola l’ampiezza della parabola, più è grande $a$ maggiore è l’apertura della parabola.
Qui un piccolo schema con i casi più rilevanti da tenere a mente:
parabola con asse parallelo all’asse X
Quanto visto per la parabola verticale può essere esteso anche ad una parabola con asse parallelo all’asse $x$, con alcune differenze.
L’equazione di una generica parabola orizzontale è la seguente:
$x=ay^2+by+c$
Anche in questo caso conoscendo i coefficienti $a$, $b$ e $c$ dell’equazione è possibile utilizzare le seguenti formule (si ottengono da quelle della parabola verticale invertendo l’ordine):
VERTICE
$V=\left(-\dfrac{\Delta}{4a},-\dfrac{b}{2a}\right)=\left(-\dfrac{b^2-4ac}{4a},-\dfrac{b}{2a}\right)$
FUOCO
$F=\left(\dfrac{1-\Delta}{4a},-\dfrac{b}{2a}\right)$
ASSE
$y=-\dfrac{b}{2a}$
DIRETTRICE
$x=-\dfrac{1+\Delta}{4a}$
Un esempio di parabola con asse orizzontale è il seguente:
$x=4y^2-4y+3$
che può essere rappresentata nel piano cartesiano in questo modo:
NOTA: A differenza della parabola verticale, quella orizzontale non può rappresentare il grafico di una funzione!
POSIZIONE RETTA-PARABOLA E CONDIZIONE DI TANGENZA
Una tipologia di esercizi molto comuni consiste nel determinare la posizione di una retta rispetto ad una parabola. Qui lo vediamo in estrema sintesi, per una trattazione più dettagliata rimandiamo alla lezione dedicata sulla posizione tra retta e parabola dove saranno visti alcuni esempi.
Una retta ed una parabola possono trovarsi in tre diverse posizioni reciproche:
- la retta è secante alla parabola: ci sono due punti di intersezione
- la retta è tangente alla parabola: c’è un solo punto di intersezione
- la retta è esterna alla parabola: non ci sono punti di intersezione
Spesso risulta difficile capire dal disegno in quali delle tre posizioni si trovano. Per ovviare a questo problema si utilizza un metodo algebrico che consiste nel mettere a sistema le equazioni della retta e della parabola:
\[\begin{cases} y=ax^2+bc+c \\ y=mx+q \end{cases}\]
Nel risolvere questo sistema (ad esempio con il metodo del confronto) si ottiene un’equazione di secondo grado, che può presentarsi in tre casi differenti:
- se $\Delta>0$ allora ci sono due punti di intersezione tra retta e parabola (secanti)
- se $\Delta=0$ allora c’è un solo punto di intersezione tra retta e parabola (tangenti)
- se $\Delta <0$ allora non ci sono punti di intersezione tra retta e parabola (esterne)
Queste tre condizioni, in particolare la condizione di tangenza $\Delta=0$, sono utilizzate in una grande varietà di esercizi.
COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA PARABOLA
Tra gli esercizi più comuni ci sono quelli che richiedono di determinare l’equazione di una parabola partendo da alcune informazioni.
Come visto nl primo paragrafo l’equazione della parabola contiene tre coefficienti $a$, $b$ e $c$, determinare l’equazione di una parabola significa trovare il valore di questi tre coefficienti. Chiaramente servono altrettante condizioni ad esempio: le coordinate di tre punti appartenenti alla parabola, o le coordinate di un punto e del vertice, o l’equazione della direttrice e due punti.
Insomma, ci sono molte possibili combinazioni di informazioni dalle quali partire per determinare l’equazione della parabola. Vista la grande varietà non c’è un procedimento generale di risolvere questi esercizi, allenarsi provando un grande varietà di esercizi è sicuramente il miglior metodo.
Proprio con l’intento di dare un supporto per allenarsi è stata realizzata una raccolta di esercizi svolti sulla determinazione dell’equazione di una parabola.
FASCI DI PARABOLE
I fasci di parabole sono un argomento che può risultare particolarmente ostico, pertanto qui ci limiteremo a dare una rapida presentazione, per una trattazione più completa si rimanda alla lezione sui fasci di parabole.
Un fascio di parabole è un insieme di parabole definito da un’equazione del tipo:
$(y-ax^2-bx-c)+k(y-dx^2-ex-f)=0$
tale equazione contiene un parametro $k$, ogni valore di $k$ rappresenta una particolare parabola del fascio.
Un fascio è viene generato dalla combinazione di due parabole dette parabole generatrici di equazione:
$y=ax^2+bx+c$
$y=dx^2+ex+f$
Se le parabole generatrici possiedono dei punti di intersezione questi sono chiamati punti base e tutte le parabole del fascio dovranno passare per questi punti.
Solitamente gli esercizi con i fasci di parabole consistono nello studio del fascio, cioè nell’individuare le sue caratteristiche principali.
Esercizi svolti su questa lezione? Ecco QUI