Gli angoli e la loro misurazione è uno dei primi argomenti di geometria che si affronta alle scuole medie. Tuttavia, per quanto sia comodissimo misurare un angolo in gradi con il goniometro, nel calcolo non è affatto comodo usare le misure in gradi. La causa principale di questa scomodità sta nel sistema sessagesimale che complica un po’ le varie operazioni tra angoli.
Per semplificare il calcolo viene introdotta una nuova unità di misura per gli angoli, i radianti.
In questa lezione ripasseremo velocemente qualche conoscenza che dovrebbe essere pregressa e poi vedremo di capire il legame tra gradi e radianti.
DEFINIZIONE DI ANGOLO E GRADO
Partiamo ricordando la definizione di angolo:
Un angolo è la parte di piano compresa tra due semirette aventi la stessa origine.
Le semirette vengono solitamente chiamate lati dell’angolo, mentre l’origine viene detta vertice dell’angolo.
Gli angoli possono essere classificati in base alla loro ampiezza e avere dei nomi particolari.
Prendiamo l’angolo giro, cioè la parte di piano compresa tra due semirette con la stessa origine e coincidenti, proprio da esso prende origine la definizione di grado. Se andiamo a dividere l’angolo giro in 360 “spicchi” otteniamo 1 grado. Da questo ne deriviamo che la definizione di grado:
Un grado $1°$ è la 360-esima parte dell’angolo giro.
Il simbolo per indicare una misura espressa in gradi è il cerchietto $°$ vicino al numero.
Come altre unità di misura anche il grado possiede dei sottomultipli, i primi $’$ e i secondi ${}^”$.
Questi sottomultipli, come vedremo tra poco, introducono qualche difficoltà di calcolo ed è per questo che si è resa necessaria l’introduzione dei radianti.
Vediamo le loro definizioni:
- Un primo $’$ è la sessantesima parte del grado, cioè $1°=60’$
- Un secondo ${}^”$ è la sessantesima parte del primo, cioè $1’=60^{”}$
Facciamo qualche esempio per capire come esprimere una misura in gradi, primi e secondi:
- l’angolo retto può essere scritto come $90° 0’$ $0^{”}$ $=90°$
- l’angolo piatto può essere scritto come $180° 0’$ $0^{”}$ $=180°$
- un angolo qualsiasi può essere il seguente $231° 12’$ $33^{”}$
In primo luogo notiamo che essendo abituati a multipli e sottomultipli decimali (ad esempio quelli del metro $1m=10dm$, $1dm=10cm$,…) non abbiamo la stessa comodità nella somma e sottrazione, inoltre il sistema sessagesimale non permette l’uso della virgola decimale.
GLI ANGOLI IN RADIANTI
Se per misurare un angolo in gradi si può banalmente usare un goniometro, per misurarlo in radianti si usa un procedimento differente.
Immaginiamo un angolo $\alpha$ qualsiasi e disegniamo due circonferenze, una di raggio piccolo che chiamiamo $r_1$ e una di raggio più grande che chiamiamo $r_2$, entrambe con il centro sul vertice dell’angolo.
Ciascuna circonferenza interseca i lati dell’angolo in due punti, tra questi due punti possiamo identificare un arco di circonferenza. Abbiamo quindi due archi di circonferenza, quello di lunghezza $l_1$ che appartiene alla circonferenza più piccola ed quello di lunghezza $l_2$ che appartiene alla circonferenza più grande.
Quello che si osserva è che il rapporto tra la lunghezza dell’arco di una circonferenza e il raggio della stessa è identico per entrambe le circonferenze. Tradotto in formula:
$\dfrac{l_1}{r_1}=\dfrac{l_2}{r_2}$
Tale valore non dipende dalla circonferenza ma unicamente dall’angolo di partenza, quindi ad ogni angolo è associato un valore unico di questo rapporto.
Grazie al fatto di poter associare un valore unico ad ogni angolo, si è quindi deciso di scegliere il rapporto $\dfrac{l}{r}$ come misura di un angolo in radianti.
L’ampiezza di angolo in radianti $\alpha_{rad}$ si calcola dividendo la lunghezza dell’arco di circonferenza $l$ per la lunghezza del raggio $r$ di una qualsiasi circonferenza centrata nel vertice dell’angolo.
$\alpha_{rad} = \dfrac{l}{r}$
In particolare nel caso in cui $l=r$ allora l’angolo misura $1$ radiante, circa $57°$.
CONVERSIONI TRA UNITÀ DI MISURA DI ANGOLI
Spesso è necessario convertire una misura di un angolo tra le varie unità di misura, in particolare vediamo come passare da una misura in gradi a una in radianti e viceversa. Il punto di partenza è identico ed è la seguente proporzione:
$\alpha ° : \alpha_{rad}=360°:2\pi$
In questa proporzione $\alpha ° $ indica la misura dell’angolo in gradi, mentre $\alpha_{rad}$ indica la misura dell’angolo in radianti.
Nell’utilizzare questa proporzione va prestata attenzione alla misura in gradi $\alpha °$. Se la misura dell’angolo contiene anche primi e secondi, questi NON devono essere inseriti nella forma gradi-primi-secondi ma bisogna passare alla rappresentazione nel sistema sessadecimale, nella quale i sottomultipli del grado sono espressi come numeri decimali.
convertire gradi in radianti
Utilizzando la proporzione appena vista possiamo ricavare la formula per convertire una misura da gradi a radianti. La formula da utilizzare è la seguente:
$\alpha_{rad}=\dfrac{\alpha ° \cdot 2\pi}{360°}$
Ad esempio, quanti radianti misura un angolo di $60°$? Applichiamo la formula appena vista ponendo $\alpha ° = 60°$:
$\alpha_{rad}=\dfrac{\alpha ° \cdot 2\pi}{360°}=\dfrac{60° \cdot 2\pi}{360°}=\dfrac{\pi}{3}$
convertire radianti in gradi
Sempre partendo dalla proporzione iniziale, ricaviamo la formula per convertire radianti in gradi che è la seguente:
$\alpha °=\dfrac{\alpha_{rad} \cdot 360°}{2\pi}$
Ad esempio, quanti gradi misura un angolo di $2$ radianti? Applichiamo la formula appena vista ponendo $\alpha_{rad} = 2$:
$\alpha °=\dfrac{\alpha_{rad} \cdot 360°}{2\pi}=\dfrac{2 \cdot 360°}{2\pi}=\dfrac{360°}{\pi}\approx 114,65°$
ALCUNI ANGOLI NOTEVOLI
Alcuni angoli sono di uso frequente, è consigliato quindi conoscere i loro valori sia in gradi che in radianti senza dover utilizzare ogni volta le formule di conversione. Qui una tabella con i principali:
| GRADI | RADIANTI |
| $0°$ | $0$ |
| $30°$ | $\dfrac{\pi}{6}$ |
| $45°$ | $\dfrac{\pi}{4}$ |
| $60°$ | $\dfrac{\pi}{3}$ |
| $90°$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| $120°$ | $\dfrac{2}{3}\pi$ |
| $135°$ | $\dfrac{3}{4}\pi$ |
| $150°$ | $\dfrac{5}{6}\pi$ |
| $180°$ | $\pi$ |
| $270°$ | $\dfrac{3}{2}\pi$ |
| $360°$ | $2\pi$ |