Affrontare con rigore matematico il vasto (e spaventosamente complesso) campo della teoria delle equazioni differenziali richiede uno sforzo enorme, qui ci limiteremo ad una breve introduzione alle equazioni differenziali.
Queste lezioni sono pensate per dare supporto a studenti delle scuole superiori e ad appassionati, eviteremo quindi lo studio dei teoremi che solitamente si affrontano nel corso di Analisi 2.
Dopo una breve introduzione teorica ci concentreremo unicamente sui metodi utilizzati per risolvere i principali tipi di equazioni differenziali.
COSA SONO LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Iniziamo con una definizione:
Un’ equazione differenziale è un particolare tipo di equazione che ha come incognita una funzione $y=f(x)$. In un’ equazione differenziale può comparire la variabile $x$, la funzione $y$ e almeno una delle sue derivate $y’,y^{”},$…
La prima frase di questa definizione è fondamentale. Infatti ci dice che risolvere un’equazione differenziale significa trovare la funzione $y=f(x)$ che la risolve.
Possiamo scrivere una generica equazione differenziale come:
$F(x,y,y’,y^{”},…)=0$
se $y=f(x)$ è una sua soluzione allora calcolando le sue derivate coinvolte e inserendole in $F(x,y,y’,y^{”},…)$ otterremo $0$.
Attenzione perché come per le classiche equazioni in $x$ (ad esempio $x^2-4=0$) anche le equazioni differenziali possono avere più soluzioni. Quindi per risolvere un’equazione differenziale è necessario trovare tutte le funzioni che la soddisfano, ossia trovare il cosiddetto integrale generale.
esempio
Prendiamo l’equazione differenziale:
$y’ -x-1=0$
Vediamo se $y=\dfrac{x^2}{2}+x$ è una delle soluzioni calcolando $y’=x+1$ e sostituendolo in $y’ -x-1=0$ si ottiene:
$(x+1)-x-1=0$ cioè otteniamo $0=0$ quindi $y=\dfrac{x^2}{2}+x$ è una soluzione particolare dell’equazione differenziale.
CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Le equazioni differenziali possono essere divise per tipologia in base alle loro caratteristiche, questo permette anche di associare un metodo generale di risoluzione ad ogni categoria.
La prima grande distinzione è quella tra equazioni differenziali ordinarie ed equazioni differenziali alle derivata parziali.
Nelle nostre lezioni ci concentreremo unicamente sulle equazioni differenziali ordinarie andando a studiare alcune particolari sottocategorie, avranno quindi delle sezioni dedicate. Per dare qualche anticipazione si parla di equazione differenziale ordinaria quando $y=f(x)$ e tutte le sue derivate sono funzioni che dipendono da una sola variabile cioè $x$. Mentre si parla di equazioni differenziale alle derivate parziali quando la funzione e le sue derivate dipendono da più variabili, ad esempio $y=f(u,v,t)$.
Anche se ci concentreremo sulle ordinarie saremmo senza cuore ci dimenticassimo delle equazioni differenziali alla derivate parziali. Purtroppo è impossibile qui farne anche solo un breve cenno. Ci limitiamo ad osservare che questo particolare tipo di equazioni è centrale in fisica, ad esempio sono fondamentali per studiare la propagazione delle onde o in meccanica quantistica per determinare lo stato delle particelle e la sua evoluzione. Ci lasciamo con un esempio di equazione differenziale alle derivate parziali proprio riguardo alla meccanica quantistica, la celeberrima equazione di Schrödinger:
$i\hbar\dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}+\dfrac{\hbar}{2m}\dfrac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}-V\psi(x,t)=0$
In questo caso l’incognita è la funzione $y=\psi(x,t)$ che dipende da due variabili, cioè dalla posizione $x$ e dal tempo $t$.
Nella prossima lezione studieremo le equazioni differenziali ordinarie e le varie sottocategorie di cui ci occuperemo.