Nella lezione precedente abbiamo visto come ad ogni angolo che rappresentiamo nella circonferenza goniometrica corrisponda un punto $P$ di intersezione sulla circonferenza stessa.
Quindi per dire in che posizione si trova un punto qualsiasi sulla circonferenza goniometrica è sufficiente fornire l’angolo $\alpha$ corrispondente. Tuttavia siccome questa circonferenza è stata disegnata su un piano cartesiano, i punti della circonferenza goniometrica possono essere descritti anche mediante una coppia di coordiante $(x,y)$. Ci possiamo quindi chiedere se ci sia un modo per collegare l’angolo $\alpha$ alle coordinate $(x,y)$. In queste lezione cercheremo di rispondere a questo interrogativo.
La situazione che studieremo sarà la seguente: un punto $P$ sulla circonferenza goniometrica a cui è associato un angolo $\alpha$ e due coordinate, $x_P$ lungo l’asse $x$ e $y_P$ lungo l’asse $y$.
LA FUNZIONE COSENO
Concentriamoci sulla componente $x_P$ del punto $P$ e diamo la seguente definizione:
La funzione coseno dell’ angolo $\alpha$, che indichiamo come $\cos{\alpha}$, è una funzione che associa ad ogni angolo $\alpha$ la coordinata $x_P$ del punto $P$ corrispondente.
Quindi possiamo dire che per qualsiasi angolo $\alpha$ sulla circonferenza goniometrica, la funzione $\cos{\alpha}$ fornisce l’ascissa del punto $P$. Questa funzione crea quindi un relazione tra l’angolo associato al punto $P$ e alla sua coordinata sull’asse $x$, che è la seguente:
$x_P = \cos{\alpha}$
Vediamo ora alcune caratteristiche del coseno.
La prima cosa che osserviamo è che può assumere sia valori negativi che positivi, nei due quadranti di destra sarà positivo (perché siamo nella parte positiva dell’asse $x$) mentre nei due quadranti di sinistra sarà negativo (perché siamo nella parte negativa dell’asse $x$).
Altra cosa da notare è che i valori che può assumere $\cos{\alpha}$ sono necessariamente compresi tra $-1$ ed $1$, questo perché sono anche gli estremi lungo l’asse $x$ che la circonferenza goniometrica raggiunge come possiamo vedere dalle intersezioni in figura. Quindi vale la seguente relazione:
$-1 \le \cos{\alpha} \le 1$
spesso scritta anche come $|\cos{\alpha}|\le 1$.
Valori del coseno da imparare assolutamente
Facciamo una rapida carrellata dei valori del coseno più comuni negli esercizi:
- $\cos{0}=1$
- $\cos{\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos{\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}$
- $\cos{\dfrac{\pi}{2}}=0$
- $\cos{\pi}=-1$
- $\cos{\dfrac{3}{2}\pi}=0$
- $\cos{2\pi}=1$
I valori per $\alpha=0, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3}{2}\pi, 2\pi $ li possiamo facilmente dedurre guardando le intersezioni tra assi e circonferenza geometrica, mentre per gli altri non deducibili ecco qui una rappresentazione:
grafico della funzione coseno e proprietÀ
Abbiamo appena visto cosa rappresenta geometricamente il coseno, ma abbiamo anche detto che è una funzione e possiamo quindi tracciarne un grafico sul piano cartesiano.
Consideriamo quindi la funzione $y=\cos{x}$, in questo caso $x$ rappresenta l’angolo (in radianti) mentre $y$ il valore del coseno (l’ascissa del punto $P$). In particolare concentriamoci per angoli compresi tra $0$ e $2\pi$ (quindi $0\le x\le 2\pi$), ciò corrisponde ad analizzare il coseno degli angoli compresi in un giro di circonferenza.
Il grafico della funzione coseno è il seguente:
Sono messi in evidenza alcuni valori notevoli, $\dfrac{\pi}{2}$ e $\dfrac{3}{2}\pi$ dove il coseno si annulla, in $\pi$ dove vale $-1$, in $0$ e $2\pi$ dove vale $1$.
Nella lezione sulla circonferenza goniometrica abbiamo visto che è possibile effettuare più di un giro lungo essa, cioè rappresentare angoli maggiori di $2\pi$. Sappiamo inoltre che dopo aver compiuto un giro lungo la circonferenza la rappresentazione degli angoli è sempre la stessa (ad esempio sulla circonferenza goniometrica l’angolo di $405°$ si disegna come l’angolo di $45°$).
Questo può farci intuire che se volessimo disegnare il grafico di $y=\cos{x}$ in $[2\pi, 4\pi]$, cioè il secondo giro di circonferenza, basterebbe fare copia e incolla dell’intervallo $[0,2\pi]$.
Per toglierci ogni dubbio vediamo subito il grafico completo del coseno:
Come possiamo vedere il grafico si ripete periodicamente ogni $2\pi$, per questo il coseno fa parte di una categoria di funzioni dette periodiche.
Per concludere facciamo un veloce riassunto delle caratteristiche della funzione $y=\cos{x}$:
- Dominio $\mathbb{R}$
- Codominio $[-1,1]$, cioè $-1 \le \cos{x} \le 1$
- È una funzione pari, cioè simmetrica rispetto all’asse $y$, quindi vale la relazione $\cos{x}=\cos{(-x)}$
- È una funzione periodica di periodo $2\pi$, vale la relazione $\cos{x}=\cos(x+2k\pi) \hspace{0.3cm}\forall k \in \mathbb{Z}$
LA FUNZIONE SENO
Concentriamoci ora sulla componente $y_P$ del punto $P$ e diamo la seguente definizione:
La funzione seno dell’ angolo $\alpha$, che indichiamo come $\sin{\alpha}$, è una funzione che associa ad ogni angolo $\alpha$ la coordinata $y_P$ del punto $P$ corrispondente.
Quindi possiamo dire che per qualsiasi angolo $\alpha$ sulla circonferenza goniometrica, la funzione $\sin{\alpha}$ fornisce l’ordinata del punto $P$. Questa funzione crea quindi un relazione tra l’angolo associato al punto $P$ e alla sua coordinata sull’asse $y$, che è la seguente:
$y_P = \sin{\alpha}$
Vediamo ora alcune caratteristiche del seno.
La prima cosa che osserviamo è che anche il seno può assumere sia valori negativi che positivi, nei due quadranti di superiori sarà positivo (perché siamo nella parte positiva dell’asse $y$) mentre nei due quadranti inferiori sarà negativo (perché siamo nella parte negativa dell’asse $y$).
Altra cosa da notare è che i valori che può assumere $\sin{\alpha}$ sono necessariamente compresi tra $-1$ ed $1$, questo perché sono anche gli estremi lungo l’asse $y$ che la circonferenza goniometrica raggiunge come possiamo vedere dalle intersezioni in figura. Quindi vale la seguente relazione:
$-1 \le \sin{\alpha} \le 1$
spesso scritta anche come $|\sin{\alpha}|\le 1$.
VALORI DEL SENO DA IMPARARE ASSOLUTAMENTE
Facciamo una rapida carrellata dei valori del seno più comuni negli esercizi:
- $\sin{0}=0$
- $\sin{\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{1}{2}$
- $\sin{\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
- $\sin{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
- $\sin{\dfrac{\pi}{2}}=1$
- $\sin{\pi}=0$
- $\sin{\dfrac{3}{2}\pi}=-1$
- $\sin{2\pi}=0$
I valori per $\alpha=0, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3}{2}\pi, 2\pi $ li possiamo facilmente dedurre guardando le intersezioni tra assi e circonferenza geometrica, mentre per gli altri non deducibili ecco qui una rappresentazione:
grafico della funzione seno e proprietÀ
Abbiamo appena visto cosa rappresenta geometricamente il seno, ma abbiamo anche detto che è una funzione e possiamo quindi come analogamente a quanto fatto per il coseno possiamo tracciarne un grafico sul piano cartesiano.
Consideriamo quindi la funzione $y=\sin{x}$, in questo caso $x$ rappresenta l’angolo (in radianti) mentre $y$ il valore del seno (l’ordinata del punto $P$). In particolare concentriamoci per angoli compresi tra $0$ e $2\pi$ (quindi $0\le x\le 2\pi$), ciò corrisponde ad analizzare il seno degli angoli compresi in un giro di circonferenza.
Per il seno quello che si ottiene è il seguente grafico:
Sono messi in evidenza alcuni valori notevoli, $0$, $\pi$ e $2\pi$ dove il seno si annulla, in $\dfrac{\pi}{2}$ dove vale $1$ e $\dfrac{3}{2}\pi$ dove vale $-1$.
Come visto per il coseno, anche il seno è una funzione periodica di periodo $2\pi$, quindi ci aspettiamo che il suo grafico si ripeta pari pari lungo tutto l’asse $x$ ogni $2\pi$.
A conferma di ciò ecco qui il suo grafico in versione estesa:
Per concludere facciamo un veloce riassunto delle caratteristiche della funzione $y=\sin{x}$:
- Dominio $\mathbb{R}$
- Codominio $[-1,1]$, cioè $-1 \le \sin{x} \le 1$
- È una funzione dispari, cioè simmetrica rispetto all’asse origine, quindi vale la relazione $\sin{(-x)}=-\sin{x}$
- È una funzione periodica di periodo $2\pi$, vale la relazione $\sin{x}=\sin(x+2k\pi) \hspace{0.3cm}\forall k \in \mathbb{Z}$