Nella lezione precedente abbiamo visto l’esistenza di due categorie principali di equazioni differenziali, in questa lezione è dedicata ad approfondire le equazioni differenziali ordinarie (EDO).
Prima di vedere le varie sottocategorie di EDO ribadiamo che si tratta di equazioni in cui la funzione incognita $y=f(x)$ dipende da una sola variabile $x$ così come tutte le sue derivate.
Aggiungiamo ora un nuovo concetto, cioè quello di ordine di un’equazione differenziale. Per ordine di un’equazione differenziale si intende l’ordine massimo delle derivate che sono presenti nell’equazione.
esempio
Vediamo alcuni esempi su come determinare l’ordine di una EDO:
- l’equazione differenziale $y+y^{”}=2x+3$ è una EDO del secondo ordine perché la derivata di ordine maggiore è la derivata seconda $y^{”}$
- l’equazione differenziale $y’+3y=0$ è una EDO del primo ordine perché la derivata di ordine maggiore è la derivata prima $y’$
- l’equazione differenziale $y^{(4)}+y^{”}=0$ è una EDO del quarto ordine perché la derivata di ordine maggiore è la derivata quarta $y^{(4)}$
Vediamo ora le tipologie di equazioni differenziali ordinarie più comuni e le loro caratteristiche.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE
Per EDO del primo ordine si intende un’ equazione differenziale che contiene al massimo la derivata prima $y’$. Una EDO di questo tipo può essere scritta in forma implicita come:
$F(x,y,y’)=0$
o in forma esplicita, andando a mettere in evidenza la derivata $y’$ nel seguente modo:
$y’=G(x,y)$
Degli esempi di EDO del primo ordine sono:
- $y’+3y-2x+4x=0 \hspace{2cm}$ questa nella forma $F(x,y,y’)=0$
- $y’=x^3+4xy \hspace{2cm}$ questa nella forma $y’=G(x,y)$
Vediamo qui sotto le tipologie di EDO del primo ordine che andremo a studiare, approfondiremo in altre lezioni quale metodo di risoluzione utilizzare caso per caso:
- EDO del primo ordine del tipo $y’=f(x)$
- EDO del primo ordine a variabili separabili $y’=g(x)h(y)$
- EDO lineari $y’+a(x)y=b(x)$
- EDO di Bernoulli
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE
Per EDO del secondo ordine si intende un’ equazione differenziale che contiene al massimo la derivata seconda $y^{”}$. Anche in questo caso l’equazione può essere rappresentata sia in forma implicita:
$F(x,y,y’,y^{”})=0$
che in forma esplicita, mettendo in evidenza il termine $y^{”}$ nel seguente modo:
$y^{”}=G(x,y,y’)$
Nelle nostre lezioni tratteremo in particolare le equazioni differenziali del secondo ordine lineari a coefficienti costanti del tipo:
$ay^{”}+by’+cy=g(x)$
Nelle prossime lezioni andremo a studiare le varie tipologie di EDO che abbiamo appena visto illustrandone il metodo di risoluzione.