Un’ equazione differenziale del tipo $y’=f(x)$ è un caso di equazione del primo ordine facilmente risolvibile. In questa lezione vediamo quale metodo utilizzare per risolvere un’equazione del tipo $y’=f(x)$, cioè andremo a capire come trovare l’integrale generale di queste equazioni differenziali. Ricordiamo che l’integrale generale è l’insieme di tutte le soluzioni particolari di un’equazione differenziale.
METODO DI RISOLUZIONE PER EDO y’=f(x)
Immaginiamo di voler risolvere un’equazione differenziale del primo ordine che può essere scritta in forma esplicita come:
$y’=f(x)$
l’equazione potrebbe presentarsi anche in forma implicita come $F(x,y’)=0$, in questo caso basterà isolare $y’$ a sinistra dell’uguale mentre gli altri termini a destra.
Per poter applicare il metodo che ora vedremo è necessario assicurarsi che a una volta scritta nella forma $y’=f(x)$ il termine a destra dell’uguale sia una funzione esclusivamente della variabile $x$ o al più una costante.
Fatte queste premesse ragioniamo su cosa significa risolvere un’equazione differenziale e su cosa rappresenta la relazione $y’=f(x)$.
Risolvere un’equazione differenziale significa trovarne il suo integrale generale, ossia l’insieme di tutte le funzioni $y=…$ che risolvono l’equazione. Se ci troviamo nel caso $y’=f(x)$ significa che conosciamo la derivata $y’$ di queste funzioni $y$.
Possiamo ben capire che per trovare $y$ è necessario trovare le primitive della funzione $y’$. Allora se integriamo sia a sinistra che a destra la relazione $y’=f(x)$ otteniamo:
\[\int y’\,dx=\int f(x)\,dx\]
quindi le soluzioni dell’equazione differenziale saranno le funzioni:
\[y=\int f(x)\,dx\]
perché usiamo il plurale “funzioni”? Perché dall’integrale a destra uscirà una costante che può assumere qualsiasi valore, infatti $c \in \mathbb{R}$. Ad ogni valore della costante corrisponde una funzione diversa che è una soluzione particolare dell’equazione differenziale, essendoci infiniti valori possibili per $c$ esistono infinite soluzioni particolari all’equazione differenziale.
Chiariamo il metodo appena descritto con alcuni esempi:
esempio 1
Risolviamo l’equazione differenziale del primo ordine $y’=x+1$
In questo caso abbiamo già l’equazione scritta nella forma $y’=f(x)$, cioè con $y’$ a sinistra dell’uguale ed $f(x)=x+1$. Possiamo applicare la formula:
\[y=\int f(x)\,dx = \int x+1\,dx = \dfrac{x^2}{2} +x+c\]
L’integrale generale è quindi $y=\dfrac{x^2}{2} +x+c$
Possiamo anche disegnare in un grafico alcune soluzioni particolari:
Le tre funzioni rappresentate differiscono solamente dal valore dato alla costante $c$. Ognuna di esse è una soluzione particolare dell’equazione differenziale. Ad esempio ponendo $c=0$ si ottiene la soluzione particolare $y=\dfrac{x^2}{2} +x$ che è rappresentata dalla parabola verde. Mentre se $c=1$ si ottiene la soluzione particolare $y=\dfrac{x^2}{2} +x+1$ che nel grafico è la parabola blu.
esempio 2
Risolviamo l’equazione differenziale del primo ordine $y’-cos(x)=0$
In questo caso l’equazione è scritta nella forma implicita $F(x,y’)=0$ e quindi dobbiamo prima isolare $y’$ nel seguente modo:
$y’=cos(x)$
Ora possiamo applicare la formula per risolvere le equazioni $y’=f(x)$ cioè:
\[y=\int f(x)\,dx = \int cos(x)\,dx = sin(x)+c\]
L’integrale generale è $y=sin(x)+c$
Anche in questo caso possiamo rappresentare alcune soluzioni particolari:
Ognuna delle funzioni in figura è una soluzione particolare, differiscono tra loro solo per la scelta della costante $c$.
Dagli esempi visti possiamo concludere che le soluzioni particolari hanno tutte la stessa “forma” e che il parametro $c$ corrisponde ad una traslazione parallela all’asse $y$.
Esercizi svolti sulle equazioni differenziali del tipo $y’=f(x)$? Ecco QUI