Abbiamo descritto brevemente in questa lezione le equazioni differenziali del secondo ordine, anticipando che andremo a trattare solo quello a coefficienti costanti del tipo:
$ay^{”}+by’+cy=g(x)$
Vedremo quindi ora come risolvere questo di tipo di equazioni differenziali. Inizieremo dal caso in cui $g(x)=0$, l’equazione da risolvere diventa quindi $ay^{”}+by’+cy=0$ che viene detta equazione omogenea.
METODO DI RISOLUZIONE PER EDO OMOGENEE DEL SECONDO ORDINE
Vogliamo risolvere la seguente equazione differenziale del secondo ordine omogenea:
$ay^{”}+by’+cy=0$
Trascuriamo qualsiasi dimostrazione teorica che complicherebbe le cose e vediamo solamente i concetti principali. Quello che si nota è che una soluzione all’equazione differenziale omogenea è $y=e^{zx}$ per i valori di $z$ che risolvono l’equazione:
$az^2+bz+c=0$
che viene detta equazione caratteristica dell’equazione differenziale. L’integrale generale si trova facendo una combinazione lineare delle soluzioni particolari.
Fatta questa introduzione vediamo gli step da seguire per risolvere l’equazione $ay^{”}+by’+cy=0$:
1) Come prima cosa è necessario trovare l’equazione caratteristica, questa si ottiene semplicemente andando a fare le seguenti “sostituzioni” (attenzione questo è solo un trucco pratico, non sono sostituzioni in senso stretto)
$y^{”}\longrightarrow z^2$
$y’\longrightarrow z$
$y\longrightarrow 1$
Quello che si ottiene è un’equazione di secondo grado:
$az^2+bz+c=0$
2) Il secondo passo è quello di andare a risolvere l’equazione caratteristica appena trovata e trovare i valori di $z$ che la soddisfano. Si calcola quindi $\Delta=b^2-4ac$ che come ben sappiamo può avere 3 casi possibili:
- Se $\Delta>0$
L’equazione ha 2 soluzioni distinte $z_1$ e $z_2$ che una volta trovate permettono di trovare l’integrale generale inserendole in:
$y=c_1e^{z_1x}+c_2e^{z_2x}$
come al solito $c_1, c_2\in \mathbb{R}$ sono due costanti da determinare se si vuole trovare una soluzione particolare.
- Se $\Delta=0$
L’equazione ha due soluzioni coincidenti $z_1=z_2$ e in questo la formula per l’integrale generale è:
$y=e^{z_1x}(c_1+c_2x)$
anche qui $c_1, c_2\in \mathbb{R}$.
- Se $\Delta<0$
L’equazione ha due soluzioni complesse $z_1=\alpha+i\beta$ e la coniugata $z_2=\alpha-i\beta$. Una volta trovate l’integrale generale si ottiene dalla formula:
$y=e^{\alpha x}[c_1cos(\beta x)+c_2sen(\beta x)]$
anche qui $c_1, c_2\in \mathbb{R}$.
Vediamo un veloce esempio nel caso di $\Delta>0$, altri esercizi svolti saranno presenti nella pagina dedicata.
ESEMPIO
Risolviamo l’equazione differenziale omogenea $y^{”}+2y’-3y=0$
Iniziamo trovando l’equazione caratteristica che in questo caso sarà: $z^2+2z-3=0$
Calcoliamo $\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot (1)\cdot (-3)=16$ che in questo caso è maggiore di $0$.
Siamo quindi nel caso $\Delta>0$, andiamo ora a trovare le soluzioni $z_1$ e $z_2$ dell’equazione caratteristica.
$z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=1$
$z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=-3$
Trovate le soluzione dell’equazione possiamo inserirle nella formula che ci permette di trovare l’integrale generale dell’equazione differenziale omogenea nel caso $\Delta>0$:
$y=c_1e^{z_1x}+c_2e^{z_2x}=c_1e^{x}+c_2e^{-3x}$
Abbiamo quindi risolto l’equazione differenziale omogenea, che ha integrale generale $y=c_1e^{x}+c_2e^{-3x}$