ELLISSE TRASLATA

Una ellisse può avere il suo centro $C$ in qualsiasi punto del piano cartesiano, in questo caso si parla di ellisse traslata. Traslare una ellisse consiste nello “spostare” tutti i suoi punti (compresi centro e fuochi) secondo un vettore $\vec{v}$ detto vettore di traslazione.

TRASLAZIONE DI UNA ELLISSE CENTRATA NELL’ORIGINE

Consideriamo una ellisse centrata nell’origine e il vettore di traslazione $\vec{v}(6,3)$. Vediamo graficamente cosa significa effettuare una traslazione secondo tale vettore:

Quindi tutti i punti vengono traslati seguendo il vettore rosso che li “sposta” di $6$ verso destra e $3$ verso l’alto.

In generale possiamo vedere che applicando un vettore di traslazione l’ellisse non cambia la sua forma, infatti la distanza tra i fuochi e la lunghezza dei semiassi rimangono invariati, l’unica cosa che cambia sono le coordinate dei punti.

Consideriamo un punto $P(x_P, y_P)$ qualsiasi (anche centro o fuochi) dell’ellisse centrata nell’origine, allora dopo una traslazione secondo il vettore $\vec{v}(x_C,y_C)$ il punto avrà coordinate:

$P’=(x_P+x_C, y_P+y_C)$

Infatti nel grafico vediamo che il centro di coordinate $C(0,0)$ dopo la traslazione secondo il vettore $\vec{v}(6,3)$ avrà coordinate:

$C’=(0+6,0+3)=(6,3)$

e il fuoco $F_1(-2,0)$ avrà cordinate

$F’_1=(-2+6,0+3)=(4,3)$

La stessa formula è applicabile a qualsiasi altro punto dell’ellisse.

EQUAZIONE DI UNA ELLISSE TRASLATA E FORMULE

Come detto precedentemente i punti di una ellisse dopo una traslazione cambiano le loro coordinate, di conseguenza cambia anche l’equazione che descrive l’ellisse.

Immaginiamo di avere una ellisse centrata nell’origine di equazione

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

allora dopo una traslazione secondo il vettore $\vec{v}(x_C,y_C)$ l’equazione canonica dell’ellisse traslata sarà:

$\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$

dove $x_C$ e $y_C$ sono le coordinate del centro dell’ellisse traslata.

Notiamo inoltre che i coefficienti $a$ e $b$ rimangono gli stessi, infatti la forma dell’ellisse non cambia dopo la traslazione.

Riassumiamo alcune formule utile per affrontare gli esercizi sulle ellissi traslate.

EQUAZIONE

$\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$

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Spesso negli esercizi viene fornita l’equazione dell’ellisse traslata in forma non canonica, cioè del tipo:

$a’x^2+b’y^2+c’x+d’y+e’=0$

In questo caso la cosa migliore è riscrivere l’equazione in forma canonica utilizzando il metodo del completamento dei quadrati. Facciamo un veloce esempio, altri saranno disponibili nella pagina degli esercizi svolti sull’ellisse traslata.

Esempio

• Utilizziamo il metodo del completamento dei quadrati per scrivere in forma canonica l’equazione dell’ellisse

$9x^2+4y^2+36x-16y+16=0$

Iniziamo raggruppando i termini con le $x$ e quelli con le $y$ nel seguente modo

$9(x^2+4x)+4(y^2-4y)+16=0$

ora vogliamo completare i quadrati dentro le parentesi tonde aggiungendo il termine mancante. Nel caso delle $x$ manca un $+4$ ma per aggiungerlo senza cambiare l’equazione dobbiamo bilanciare con una sottrazione $-9\cdot 4$ fuori dalle parentesi. La stessa cosa va fatta con le $y$, aggiungiamo un $+4$ dentro le parentesi tonde e sottraiamo per $-4\cdot 4$ fuori dalle parentesi. Otteniamo:

$9(x^2+4x+4)-9\cdot 4 + 4(y^2-4y+4)-4\cdot 4+16=0$

Scriviamo i quadrati di binomio e portiamo a destra il termine noto risultante

$9(x+2)^2+4(y-2)^2=36$

Dividendo tutto per $36$ otteniamo:

$\dfrac{(x+2)^2}{4}+\dfrac{(y-2)^2}{9}=1$

che è l’equazione dell’ellisse scritta in forma canonica. Questa ellisse avrà centro $C(-2,2)$, $a=2$ e $b=3$.

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Esercizi su questa lezione? Ecco QUI