In questa lezione definiremo la circonferenza goniometrica, un argomento indispensabile per poter affrontare le funzioni goniometriche e i relativi esercizi. Vedremo che risulta particolarmente utile per rappresentare gli angoli orientati che descriveremo tra poco.
LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
Diamo subito la definizione di circonferenza goniometrica e vedremo poi perché ci sarà utile:
Una circonferenza geometrica è una circonferenza centrata nell’origine degli assi cartesiani e di raggio $1$.
Ovviamente la circonferenza intersecherà gli assi cartesiani in 4 punti, le cui coordinate sono riportate in figura.
Dove sta l’utilità di questa circonferenza? Come vedremo più avanti ci sarà di grande aiuto nel definire delle funzioni dette goniometriche, per ora ci limiteremo ad utilizzarla come semplice strumento per rappresentare degli angoli.
come rappresentare angoli orientati nella circonferenza geometrica
Cerchiamo ora di capire come utilizzare la circonferenza geometrica per rappresentare un angolo.
Per rappresentare un angolo serve definire il suo vertice e i suoi due lati. La circonferenza goniometrica semplifica il procedimento, infatti il vertice di un angolo viene preso sull’origine degli assi e un lato dell’angolo sarà sempre il semiasse positivo delle $x$.
Disegnata una circonferenza goniometrica, per rappresentare un angolo $\alpha$ qualsiasi è sufficiente tracciare il secondo lato partendo dall’origine degli assi fino ad intersecare la circonferenza in punto $P$.
Come esempio vediamo il seguente disegno:
Il lato blu orizzontale rimane fisso per qualsiasi angolo vogliamo rappresentare, mentre il lato blu che interseca nel punto $P$ la circonferenza cambierà in base all’angolo desiderato.
Un particolare commento va fatto al tratto rosso che rappresenta l’ampiezza dell’angolo $\alpha$. Al suo estremo è stata volutamente messa una freccia, infatti gli angoli rappresentati sulla circonferenza goniometrica si dicono angoli orientati.
Preso come riferimento il semiasse positivo delle $x$ possiamo descrivere un angolo sia ruotando in senso antiorario (che per convenzione verrà detto angolo positivo) che ruotando in senso orario (angolo negativo). Chiariamo con un disegno:
Come ulteriore esempio rappresentiamo, utilizzando la circonferenza goniometrica, alcuni angoli di uso frequente.
A sinistra l’angolo $\alpha=30°=\dfrac{\pi}{6}$ mentre a destra l’angolo $\alpha=-30°=-\dfrac{\pi}{6}$
Qui a sinistra l’angolo $\alpha=45°=\dfrac{\pi}{4}$ mentre a destra l’angolo $\alpha=-45°=-\dfrac{\pi}{4}$
A sinistra l’angolo $\alpha=60°=\dfrac{\pi}{3}$ mentre a destra l’angolo $\alpha=-60°=-\dfrac{\pi}{3}$
Alla sinistra l’angolo $\alpha=90°=\dfrac{\pi}{2}$ mentre a destra l’angolo $\alpha=-90°=-\dfrac{\pi}{2}$
Concludiamo gli esempi con a sinistra l’angolo $\alpha=120°=\dfrac{2}{3}\pi$ mentre a destra l’angolo $\alpha=-120°=-\dfrac{2}{3}\pi$
ANGOLI SUPERIORI ALL’ANGOLO GIRO
Viene spontaneo chiedersi fino a che punto può ruotare il lato “mobile” dell’angolo. Ci si potrebbe aspettare che dopo aver compiuto un giro completo (ossia aver descritto un angolo di $360°$) non si possa andare oltre.
Beh disegnare un angolo maggiore di $360°$ è geometricamente impossibile, tuttavia la matematica va oltre e utilizzando la circonferenza goniometrica permette di rappresentare angoli di ampiezza maggiore di $360°$.
Questo potrebbe stupire, ma d’altronde abbiamo appena visto che possiamo definire degli angoli negativi…
Ma cosa significa rappresentare un angolo maggiore di $360°$ nella circonferenza geometrica? Significa semplicemente far ruotare il lato libero per più di un giro. Vediamo come esempio la rappresentazione dell’angolo di $405°$ o in radianti $\dfrac{9}{4}\pi$:
Da notare che essendo $405°=360°+45°$ la rappresentazione dell’angolo di $405°$ è identica a quella dell’angolo di $45°$ visto in precedenza. Questo perché una volta completato il primo giro le rappresentazioni sulla circonferenza si ripetono, anche se l’angolo che vogliamo rappresentare è differente. Questa caratteristica come vedremo in seguito si chiama periodicità, fondamentale per le funzioni goniometriche e per molte applicazioni di fisica e ingegneria.