DIVISIONE DI MONOMI

La divisione tra monomi dal punto di vista pratico è molto simile alla moltiplicazione, in fin dei conti la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Il procedimento che vedremo a breve è quindi molto simile a quello già visto per la moltiplicazione, ovviamente con qualche differenza nelle operazioni da effettuare.

Tuttavia la divisione ha qualche complicazione teorica in più, infatti non sempre la divisone tra due monomi fornisce un monomio. Vediamo di chiarire meglio questo punto prima di proseguire.

La divisione tra due monomi fornisce un monomio solo se il dividendo è divisibile per il divisore, cioè solo se il dividendo contiene tutte le lettere presenti anche nel divisore e con esponente maggiore o uguale.

Ad esempio il monomio $4x^2y^3z$ è divisibile per il monomio $2xy$ perché il primo contiene tutte le lettere che ha il secondo e queste lettere presenti nel primo hanno esponente maggiore rispetto a quelle del secondo. Da notare che non vale il reciproco, cioè $2xy$ non è divisibile per $4x^2y^3z$ perché il primo non possiede la lettera $z$ e gli esponenti della $x$ e della $y$ hanno esponente minore rispetto a quelle nel secondo monomio.

Proviamo a vedere in ordine entrambi i casi e capiamo la differenza, partiamo da:

$(4x^2y^3z):(2xy)$

Essendo divisibili ci aspettiamo che il risultato sia un monomio. Dividiamo i coefficienti numerici tra loro e nella parte letterale sottraiamo gli esponenti del divisore da quelli del dividendo utilizzando la proprietà delle potenze.

$(4:2)x^{2-1}y^{3-1}z=2xy^2z$

Il risultato come possiamo ben vedere è un monomio.

Passiamo al caso in cui dividendo e divisore sono scambiati:

$(2xy):(4x^2y^3z)$

Possiamo utilizzare lo stesso procedimento appena svolto, commenteremo dopo il risultato:

$(2:4)x^{1-2}y^{1-3}z^{0-1}=\dfrac{1}{2}x^{-1}y^{-2}z^{-1}$

Il risultato non è monomio perché gli esponenti delle lettere non sono numeri naturali ma sono negati. Dal punto di vista matematico la divisione è possibile e usare gli esponenti negativi non è sbagliato, tuttavia bisogna essere consapevoli che il risultato non è un monomio ma un rimane un rapporto tra monomi e si può scrivere come:

$\dfrac{1}{2}x^{-1}y^{-2}z^{-1}$

o semplificando i coefficienti numerici come:

$\dfrac{xy}{2x^2y^3z}$


Facciamo ora un breve riassunto e uno schema con gli step per la divisione tra due monomi.

La divisone tra due monomi da come un risultato un monomio solo se il dividendo è divisibile per il divisore, nel caso in cui non lo sia si può procedere comunque con i calcoli ma il risultato non sarà un monomio.

In entrambi i casi il procedimento è lo stesso, il risultato avrà:

  1. il coefficiente numerico dato dalla divisione del coefficiente del dividendo (il primo) per quello del divisore (il secondo)
  2. la parte letterale formata dalle lettere del dividendo, i cui esponenti si ottengono sottraendo quello del divisore da quelle del dividendo per ciascuna lettera.

Ovviamente nel caso in cui il dividendo sia il monomio nullo il risultato è $0$, mentre non è possibile effettuare la divisone se il divisore è il monomio nullo. La divisione per $0$ non è definita!


Vediamo un paio di esempi.

Esempio 1

Calcoliamo le seguenti divisioni tra monomi divisibili:

  • $(3x^3y^3z^4):(9x^2yz)$
  • $(-25x^5yz^3):(5xyz)$

Soluzione

Nella prima divisone applicando il procedimento otteniamo:

$(3:9)x^{3-2}y^{3-1}z^{4-1}=\dfrac{1}{3}xy^2z^3$

Nella seconda divisione sempre con il procedimento otteniamo:

$(-25:5)x^{5-1}y^{1-1}z^{3-1}=-5x^4y^0z^2=-5x^4z^2$


Esercizi svolti sulla divisione di monomi? Ecco QUI