Nel lezione precedente abbiamo visto l’importanza del calcolo letterale. Iniziamo cercando di capire cos’è un monomio partendo dalla definizione e vediamo poi come calcolare il valore numerico di un monomio.
Definizione di monomio
Un monomio è una espressione matematica nella quale numeri e simboli letterali sono moltiplicati tra loro e nella quale le lettere possono avere un esponente naturale.
Vediamo alcuni esempi di monomio:
- $-\dfrac{15}{8}$
- $-x^2$
- $+4a$
- $-5a^2b^3c$
- $+4x^2y(-\dfrac{3}{5})z^3$
Possiamo notare che in ogni monomio c’è una parte numerica detta coefficiente, che una parte letterale.
Tra coefficiente e lettera e tra lettera e lettera c’è sempre una moltiplicazione, ad esempio:
$-14xy=-14\cdot x\cdot y$
Anche numeri senza lettere sono dei monomi perché è come se ogni lettera della parte letterale fosse elevata alla $0$ (ad esempio $-7=-7x^0y^0z^0…=-7\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1$ perché $x^0=1$, ecc). Se invece non è presente alcun coefficiente prima della parte letterale è sottinteso che il coefficiente sia o $+1$ se il segno del monomio è $+$ o $-1$ se il segno del monomio è $-$ (ad esempio $+ab=+1ab$ mentre $-ab=-1ab$).
Non sono invece dei monomi i seguenti:
- $-a^{-1}bc^{-2}$
- $6\dfrac{x^4}{yz}$
infatti nel primo alcune lettere sono elevate ad esponente negativo, mentre nel secondo compare una frazione con lettere (cioè una divisione).
Calcolare il valore di un monomio
Abbiamo visto che l’utilità del calcolo letterale sta nel dare una “formula” generale che si può applicare ad una grande varietà di problemi. Cerchiamo ora di capire, dato un monomio (immaginiamo sia una formula di geometria), come trovare il valore del monomio conoscendo il valore dei termini letterali.
Prendiamo come esempio il monomio $4xy^3z$ e troviamo il suo valore sapendo che $x=3$, $y=\dfrac{1}{2}$ e $z=4$.
Sappiamo che il monomio ha tra ogni suo termine letterale una moltiplicazione, possiamo anche scriverlo in questo modo:
$4xy^3z=4\cdot x\cdot y^3\cdot z$
Per trovare ora il valore totale del monomio basta sostituire ad ogni lettere il suo valore fornito all’inizio.
$4\cdot x\cdot y^3\cdot z=4\cdot 3\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\cdot 4=4\cdot 3\cdot \left(\dfrac{1}{8}\right)\cdot 4=6$
Monomi uguali, monomi opposti e monomio nullo
Due monomi si dicono uguali se possiedono la stessa parte letterale e lo stesso coefficiente numerico.
Per capirsi, il monomio $3a^3b^2$ è uguale al monomio $3a^3b^2$.
Può sembrare una definizione trascurabile ma non sempre si riescono a riconoscere due monomi uguali, infatti anche i monomi $15x^4y^2$ e $5x^3y3xy$ sono uguali. In questo caso per notare che sono uguali bisogna prima ridurre in forma normale il secondo monomio.
Invece si definiscono monomi opposti due monomi che hanno la stessa parte letterale ma coefficiente numerico opposto. Un esempio di monomi opposti sono il monomio $5xy$ e il monomio $-5xy$.
Un monomio particolare è invece il monomio nullo. Per monomio nullo si intende un monomio che ha come coefficiente numerico $0$. La parte letterale in questo caso non è importante, ad esempio sono monomi nulli sia $0xy^2z^3$ che $0ab$.